Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35951 / 39281
↖ ↑ ↗
← S 33.655781°
E 17.484741°		 ← 508.46 m → S 33.655781°
E 17.490235°		 →
↑
508.41 m
↓
↑
508.41 m
↓
S 33.660353°
E 17.484741°		 ← 508.43 m →
258 498 m²		 S 33.660353°
E 17.490235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548576354980469 y=0.599388122558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548576354980469 × 216)
    floor (0.548576354980469 × 65536)
    floor (35951.5)     		tx = 35951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599388122558594 × 216)
    floor (0.599388122558594 × 65536)
    floor (39281.5)     		ty = 39281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35951 / 39281 ti = "16/35951/39281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35951/39281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35951 ÷ 216
    35951 ÷ 65536     		x = 0.548568725585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39281 ÷ 216
    39281 ÷ 65536     		y = 0.599380493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548568725585938 × 2 - 1) × π
    0.097137451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.30516630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599380493164062 × 2 - 1) × π
    -0.198760986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.624426054450851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30516630} λ = 0.30516630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.624426054450851))-π/2
    2×atan(0.535568727611557)-π/2
    2×0.491696069480521-π/2
    0.983392138961041-1.57079632675     		φ = -0.58740419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30516630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.484741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58740419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.655781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35951 KachelY 39281 0.30516630 -0.58740419 17.484741 -33.655781
    Oben rechts KachelX + 1 35952 KachelY 39281 0.30526218 -0.58740419 17.490235 -33.655781
    Unten links KachelX 35951 KachelY + 1 39282 0.30516630 -0.58748399 17.484741 -33.660353
    Unten rechts KachelX + 1 35952 KachelY + 1 39282 0.30526218 -0.58748399 17.490235 -33.660353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58740419--0.58748399) × R
    7.97999999999632e-05 × 6371000     		dl = 508.405799999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58740419--0.58748399) × R
    7.97999999999632e-05 × 6371000     		dr = 508.405799999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30516630-0.30526218) × cos(-0.58740419) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.832382085452201 × 6371000     		do = 508.461828823925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30516630-0.30526218) × cos(-0.58748399) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.832337857467423 × 6371000     		du = 508.434812093965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58740419)-sin(-0.58748399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832382085452201-0.832337857467423)×R²
    abs(0.30526218-0.30516630)×4.42279847783222e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.42279847783222e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.42279847783222e-05×40589641000000     		ar = 258498.075258638m²