Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35951 / 104294
↖ ↑ ↗
← S 72.267330°
W 81.257630°		 ← 93.03 m → S 72.267330°
W 81.254883°		 →
↑
93.02 m
↓
↑
93.02 m
↓
S 72.268167°
W 81.257630°		 ← 93.02 m →
8 653 m²		 S 72.268167°
W 81.254883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274288177490234 y=0.795703887939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274288177490234 × 217)
    floor (0.274288177490234 × 131072)
    floor (35951.5)     		tx = 35951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795703887939453 × 217)
    floor (0.795703887939453 × 131072)
    floor (104294.5)     		ty = 104294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35951 / 104294 ti = "17/35951/104294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35951/104294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35951 ÷ 217
    35951 ÷ 131072     		x = 0.274284362792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104294 ÷ 217
    104294 ÷ 131072     		y = 0.795700073242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274284362792969 × 2 - 1) × π
    -0.451431274414062 × 3.1415926535     		Λ = -1.41821318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795700073242188 × 2 - 1) × π
    -0.591400146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.85793835547414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41821318} λ = -1.41821318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85793835547414))-π/2
    2×atan(0.155993903055467)-π/2
    2×0.154746738578132-π/2
    0.309493477156265-1.57079632675     		φ = -1.26130285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41821318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.257630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26130285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.267330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35951 KachelY 104294 -1.41821318 -1.26130285 -81.257630 -72.267330
    Oben rechts KachelX + 1 35952 KachelY 104294 -1.41816524 -1.26130285 -81.254883 -72.267330
    Unten links KachelX 35951 KachelY + 1 104295 -1.41821318 -1.26131745 -81.257630 -72.268167
    Unten rechts KachelX + 1 35952 KachelY + 1 104295 -1.41816524 -1.26131745 -81.254883 -72.268167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26130285--1.26131745) × R
    1.45999999998647e-05 × 6371000     		dl = 93.0165999991381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26130285--1.26131745) × R
    1.45999999998647e-05 × 6371000     		dr = 93.0165999991381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41821318--1.41816524) × cos(-1.26130285) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.304576218278125 × 6371000     		do = 93.0254168539369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41821318--1.41816524) × cos(-1.26131745) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.304562311921346 × 6371000     		du = 93.0211694946269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26130285)-sin(-1.26131745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304576218278125-0.304562311921346)×R²
    abs(-1.41816524--1.41821318)×1.39063567791697e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.39063567791697e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.39063567791697e-05×40589641000000     		ar = 8652.71045202594m²