Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35950 / 104530
↖ ↑ ↗
← S 72.463694°
W 81.260376°		 ← 92.01 m → S 72.463694°
W 81.257630°		 →
↑
92 m
↓
↑
92 m
↓
S 72.464521°
W 81.260376°		 ← 92 m →
8 464 m²		 S 72.464521°
W 81.257630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274280548095703 y=0.797504425048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274280548095703 × 217)
    floor (0.274280548095703 × 131072)
    floor (35950.5)     		tx = 35950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797504425048828 × 217)
    floor (0.797504425048828 × 131072)
    floor (104530.5)     		ty = 104530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35950 / 104530 ti = "17/35950/104530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35950/104530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35950 ÷ 217
    35950 ÷ 131072     		x = 0.274276733398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104530 ÷ 217
    104530 ÷ 131072     		y = 0.797500610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274276733398438 × 2 - 1) × π
    -0.451446533203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41826111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797500610351562 × 2 - 1) × π
    -0.595001220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.86925146378447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41826111} λ = -1.41826111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86925146378447))-π/2
    2×atan(0.154239072146688)-π/2
    2×0.153033139196225-π/2
    0.306066278392451-1.57079632675     		φ = -1.26473005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41826111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.260376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26473005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.463694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35950 KachelY 104530 -1.41826111 -1.26473005 -81.260376 -72.463694
    Oben rechts KachelX + 1 35951 KachelY 104530 -1.41821318 -1.26473005 -81.257630 -72.463694
    Unten links KachelX 35950 KachelY + 1 104531 -1.41826111 -1.26474449 -81.260376 -72.464521
    Unten rechts KachelX + 1 35951 KachelY + 1 104531 -1.41821318 -1.26474449 -81.257630 -72.464521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26473005--1.26474449) × R
    1.44399999999489e-05 × 6371000     		dl = 91.9972399996747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26473005--1.26474449) × R
    1.44399999999489e-05 × 6371000     		dr = 91.9972399996747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41826111--1.41821318) × cos(-1.26473005) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.301310069179366 × 6371000     		do = 92.008654384108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41826111--1.41821318) × cos(-1.26474449) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.301296300229412 × 6371000     		du = 92.0044498695991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26473005)-sin(-1.26474449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301310069179366-0.301296300229412)×R²
    abs(-1.41821318--1.41826111)×1.37689499540294e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.37689499540294e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.37689499540294e-05×40589641000000     		ar = 8464.34885754271m²