Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35949 / 47725
↖ ↑ ↗
← S 63.186585°
E 17.473755°		 ← 275.52 m → S 63.186585°
E 17.479248°		 →
↑
275.55 m
↓
↑
275.55 m
↓
S 63.189064°
E 17.473755°		 ← 275.49 m →
75 915 m²		 S 63.189064°
E 17.479248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548545837402344 y=0.728233337402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548545837402344 × 216)
    floor (0.548545837402344 × 65536)
    floor (35949.5)     		tx = 35949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728233337402344 × 216)
    floor (0.728233337402344 × 65536)
    floor (47725.5)     		ty = 47725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35949 / 47725 ti = "16/35949/47725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35949/47725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35949 ÷ 216
    35949 ÷ 65536     		x = 0.548538208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47725 ÷ 216
    47725 ÷ 65536     		y = 0.728225708007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548538208007812 × 2 - 1) × π
    0.097076416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30497456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728225708007812 × 2 - 1) × π
    -0.456451416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43398441523436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30497456} λ = 0.30497456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43398441523436))-π/2
    2×atan(0.238357313189998)-π/2
    2×0.233991181491148-π/2
    0.467982362982296-1.57079632675     		φ = -1.10281396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30497456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.473755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10281396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.186585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35949 KachelY 47725 0.30497456 -1.10281396 17.473755 -63.186585
    Oben rechts KachelX + 1 35950 KachelY 47725 0.30507043 -1.10281396 17.479248 -63.186585
    Unten links KachelX 35949 KachelY + 1 47726 0.30497456 -1.10285721 17.473755 -63.189064
    Unten rechts KachelX + 1 35950 KachelY + 1 47726 0.30507043 -1.10285721 17.479248 -63.189064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10281396--1.10285721) × R
    4.32500000000502e-05 × 6371000     		dl = 275.54575000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10281396--1.10285721) × R
    4.32500000000502e-05 × 6371000     		dr = 275.54575000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30497456-0.30507043) × cos(-1.10281396) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.451086507002327 × 6371000     		do = 275.518121689034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30497456-0.30507043) × cos(-1.10285721) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.451047906810444 × 6371000     		du = 275.494545163913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10281396)-sin(-1.10285721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451086507002327-0.451047906810444)×R²
    abs(0.30507043-0.30497456)×3.86001918830092e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.86001918830092e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.86001918830092e-05×40589641000000     		ar = 75914.5992856116m²