Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35949 / 104927
↖ ↑ ↗
← S 72.789276°
W 81.263123°		 ← 90.37 m → S 72.789276°
W 81.260376°		 →
↑
90.34 m
↓
↑
90.34 m
↓
S 72.790088°
W 81.263123°		 ← 90.37 m →
8 164 m²		 S 72.790088°
W 81.260376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274272918701172 y=0.800533294677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274272918701172 × 217)
    floor (0.274272918701172 × 131072)
    floor (35949.5)     		tx = 35949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800533294677734 × 217)
    floor (0.800533294677734 × 131072)
    floor (104927.5)     		ty = 104927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35949 / 104927 ti = "17/35949/104927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35949/104927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35949 ÷ 217
    35949 ÷ 131072     		x = 0.274269104003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104927 ÷ 217
    104927 ÷ 131072     		y = 0.800529479980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274269104003906 × 2 - 1) × π
    -0.451461791992188 × 3.1415926535     		Λ = -1.41830905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800529479980469 × 2 - 1) × π
    -0.601058959960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.88828241293363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41830905} λ = -1.41830905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88828241293363))-π/2
    2×atan(0.151331510787832)-π/2
    2×0.150191903599934-π/2
    0.300383807199868-1.57079632675     		φ = -1.27041252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41830905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.263123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27041252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.789276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35949 KachelY 104927 -1.41830905 -1.27041252 -81.263123 -72.789276
    Oben rechts KachelX + 1 35950 KachelY 104927 -1.41826111 -1.27041252 -81.260376 -72.789276
    Unten links KachelX 35949 KachelY + 1 104928 -1.41830905 -1.27042670 -81.263123 -72.790088
    Unten rechts KachelX + 1 35950 KachelY + 1 104928 -1.41826111 -1.27042670 -81.260376 -72.790088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27041252--1.27042670) × R
    1.41799999999748e-05 × 6371000     		dl = 90.3407799998392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27041252--1.27042670) × R
    1.41799999999748e-05 × 6371000     		dr = 90.3407799998392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41830905--1.41826111) × cos(-1.27041252) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295886849522082 × 6371000     		do = 90.3714599714914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41830905--1.41826111) × cos(-1.27042670) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295873304430251 × 6371000     		du = 90.3673229517954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27041252)-sin(-1.27042670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295886849522082-0.295873304430251)×R²
    abs(-1.41826111--1.41830905)×1.35450918316016e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35450918316016e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35450918316016e-05×40589641000000     		ar = 8164.04131271751m²