Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35949 / 104308
↖ ↑ ↗
← S 72.279038°
W 81.263123°		 ← 92.97 m → S 72.279038°
W 81.260376°		 →
↑
92.95 m
↓
↑
92.95 m
↓
S 72.279874°
W 81.263123°		 ← 92.96 m →
8 641 m²		 S 72.279874°
W 81.260376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274272918701172 y=0.795810699462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274272918701172 × 217)
    floor (0.274272918701172 × 131072)
    floor (35949.5)     		tx = 35949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795810699462891 × 217)
    floor (0.795810699462891 × 131072)
    floor (104308.5)     		ty = 104308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35949 / 104308 ti = "17/35949/104308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35949/104308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35949 ÷ 217
    35949 ÷ 131072     		x = 0.274269104003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104308 ÷ 217
    104308 ÷ 131072     		y = 0.795806884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274269104003906 × 2 - 1) × π
    -0.451461791992188 × 3.1415926535     		Λ = -1.41830905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795806884765625 × 2 - 1) × π
    -0.59161376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.85860947206882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41830905} λ = -1.41830905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85860947206882))-π/2
    2×atan(0.155889248080231)-π/2
    2×0.154644568160214-π/2
    0.309289136320428-1.57079632675     		φ = -1.26150719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41830905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.263123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26150719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.279038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35949 KachelY 104308 -1.41830905 -1.26150719 -81.263123 -72.279038
    Oben rechts KachelX + 1 35950 KachelY 104308 -1.41826111 -1.26150719 -81.260376 -72.279038
    Unten links KachelX 35949 KachelY + 1 104309 -1.41830905 -1.26152178 -81.263123 -72.279874
    Unten rechts KachelX + 1 35950 KachelY + 1 104309 -1.41826111 -1.26152178 -81.260376 -72.279874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26150719--1.26152178) × R
    1.45900000001475e-05 × 6371000     		dl = 92.95289000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26150719--1.26152178) × R
    1.45900000001475e-05 × 6371000     		dr = 92.95289000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41830905--1.41826111) × cos(-1.26150719) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.30438158052954 × 6371000     		do = 92.9659694755435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41830905--1.41826111) × cos(-1.26152178) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.304367682789956 × 6371000     		du = 92.9617247481468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26150719)-sin(-1.26152178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30438158052954-0.304367682789956)×R²
    abs(-1.41826111--1.41830905)×1.38977395838236e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38977395838236e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38977395838236e-05×40589641000000     		ar = 8641.25825478394m²