Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35948 / 104524
↖ ↑ ↗
← S 72.458728°
W 81.265869°		 ← 92.05 m → S 72.458728°
W 81.263123°		 →
↑
92.06 m
↓
↑
92.06 m
↓
S 72.459556°
W 81.265869°		 ← 92.05 m →
8 474 m²		 S 72.459556°
W 81.263123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274265289306641 y=0.797458648681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274265289306641 × 217)
    floor (0.274265289306641 × 131072)
    floor (35948.5)     		tx = 35948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797458648681641 × 217)
    floor (0.797458648681641 × 131072)
    floor (104524.5)     		ty = 104524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35948 / 104524 ti = "17/35948/104524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35948/104524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35948 ÷ 217
    35948 ÷ 131072     		x = 0.274261474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104524 ÷ 217
    104524 ÷ 131072     		y = 0.797454833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274261474609375 × 2 - 1) × π
    -0.45147705078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41835699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797454833984375 × 2 - 1) × π
    -0.59490966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.86896384238675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41835699} λ = -1.41835699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86896384238675))-π/2
    2×atan(0.154283440984609)-π/2
    2×0.153076476750501-π/2
    0.306152953501003-1.57079632675     		φ = -1.26464337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41835699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.265869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26464337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.458728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35948 KachelY 104524 -1.41835699 -1.26464337 -81.265869 -72.458728
    Oben rechts KachelX + 1 35949 KachelY 104524 -1.41830905 -1.26464337 -81.263123 -72.458728
    Unten links KachelX 35948 KachelY + 1 104525 -1.41835699 -1.26465782 -81.265869 -72.459556
    Unten rechts KachelX + 1 35949 KachelY + 1 104525 -1.41830905 -1.26465782 -81.263123 -72.459556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26464337--1.26465782) × R
    1.44500000001102e-05 × 6371000     		dl = 92.0609500007021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26464337--1.26465782) × R
    1.44500000001102e-05 × 6371000     		dr = 92.0609500007021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41835699--1.41830905) × cos(-1.26464337) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.301392719699622 × 6371000     		do = 92.0530944448093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41835699--1.41830905) × cos(-1.26465782) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.301378941591804 × 6371000     		du = 92.0488862560332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26464337)-sin(-1.26465782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301392719699622-0.301378941591804)×R²
    abs(-1.41830905--1.41835699)×1.37781078180521e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.37781078180521e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.37781078180521e-05×40589641000000     		ar = 8474.30162038717m²