Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35947 / 104826
↖ ↑ ↗
← S 72.707005°
W 81.268616°		 ← 90.77 m → S 72.707005°
W 81.265869°		 →
↑
90.79 m
↓
↑
90.79 m
↓
S 72.707822°
W 81.268616°		 ← 90.77 m →
8 241 m²		 S 72.707822°
W 81.265869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274257659912109 y=0.799762725830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274257659912109 × 217)
    floor (0.274257659912109 × 131072)
    floor (35947.5)     		tx = 35947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799762725830078 × 217)
    floor (0.799762725830078 × 131072)
    floor (104826.5)     		ty = 104826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35947 / 104826 ti = "17/35947/104826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35947/104826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35947 ÷ 217
    35947 ÷ 131072     		x = 0.274253845214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104826 ÷ 217
    104826 ÷ 131072     		y = 0.799758911132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274253845214844 × 2 - 1) × π
    -0.451492309570312 × 3.1415926535     		Λ = -1.41840492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799758911132812 × 2 - 1) × π
    -0.599517822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88344078607201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41840492} λ = -1.41840492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88344078607201))-π/2
    2×atan(0.15206597806899)-π/2
    2×0.150909849123847-π/2
    0.301819698247694-1.57079632675     		φ = -1.26897663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41840492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.268616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26897663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.707005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35947 KachelY 104826 -1.41840492 -1.26897663 -81.268616 -72.707005
    Oben rechts KachelX + 1 35948 KachelY 104826 -1.41835699 -1.26897663 -81.265869 -72.707005
    Unten links KachelX 35947 KachelY + 1 104827 -1.41840492 -1.26899088 -81.268616 -72.707822
    Unten rechts KachelX + 1 35948 KachelY + 1 104827 -1.41835699 -1.26899088 -81.265869 -72.707822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26897663--1.26899088) × R
    1.42499999999934e-05 × 6371000     		dl = 90.7867499999582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26897663--1.26899088) × R
    1.42499999999934e-05 × 6371000     		dr = 90.7867499999582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41840492--1.41835699) × cos(-1.26897663) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.297258139171877 × 6371000     		do = 90.7713488116024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41840492--1.41835699) × cos(-1.26899088) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.297244533282301 × 6371000     		du = 90.7671940895416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26897663)-sin(-1.26899088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297258139171877-0.297244533282301)×R²
    abs(-1.41835699--1.41840492)×1.36058895758295e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.36058895758295e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.36058895758295e-05×40589641000000     		ar = 8240.64715498845m²