Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35946 / 104907
↖ ↑ ↗
← S 72.773015°
W 81.271362°		 ← 90.45 m → S 72.773015°
W 81.268616°		 →
↑
90.47 m
↓
↑
90.47 m
↓
S 72.773828°
W 81.271362°		 ← 90.45 m →
8 183 m²		 S 72.773828°
W 81.268616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274250030517578 y=0.800380706787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274250030517578 × 217)
    floor (0.274250030517578 × 131072)
    floor (35946.5)     		tx = 35946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800380706787109 × 217)
    floor (0.800380706787109 × 131072)
    floor (104907.5)     		ty = 104907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35946 / 104907 ti = "17/35946/104907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35946/104907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35946 ÷ 217
    35946 ÷ 131072     		x = 0.274246215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104907 ÷ 217
    104907 ÷ 131072     		y = 0.800376892089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274246215820312 × 2 - 1) × π
    -0.451507568359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41845286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800376892089844 × 2 - 1) × π
    -0.600753784179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.88732367494123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41845286} λ = -1.41845286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88732367494123))-π/2
    2×atan(0.151476667629242)-π/2
    2×0.150333807548769-π/2
    0.300667615097538-1.57079632675     		φ = -1.27012871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41845286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.271362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27012871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.773015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35946 KachelY 104907 -1.41845286 -1.27012871 -81.271362 -72.773015
    Oben rechts KachelX + 1 35947 KachelY 104907 -1.41840492 -1.27012871 -81.268616 -72.773015
    Unten links KachelX 35946 KachelY + 1 104908 -1.41845286 -1.27014291 -81.271362 -72.773828
    Unten rechts KachelX + 1 35947 KachelY + 1 104908 -1.41840492 -1.27014291 -81.268616 -72.773828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27012871--1.27014291) × R
    1.41999999998532e-05 × 6371000     		dl = 90.4681999990649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27012871--1.27014291) × R
    1.41999999998532e-05 × 6371000     		dr = 90.4681999990649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41845286--1.41840492) × cos(-1.27012871) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296157939440402 × 6371000     		do = 90.4542578104007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41845286--1.41840492) × cos(-1.27014291) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296144376437 × 6371000     		du = 90.45011532005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27012871)-sin(-1.27014291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296157939440402-0.296144376437)×R²
    abs(-1.41840492--1.41845286)×1.35630034022172e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35630034022172e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35630034022172e-05×40589641000000     		ar = 8183.04650486179m²