Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35945 / 104825
↖ ↑ ↗
← S 72.706189°
W 81.274109°		 ← 90.79 m → S 72.706189°
W 81.271362°		 →
↑
90.79 m
↓
↑
90.79 m
↓
S 72.707005°
W 81.274109°		 ← 90.79 m →
8 243 m²		 S 72.707005°
W 81.271362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274242401123047 y=0.799755096435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274242401123047 × 217)
    floor (0.274242401123047 × 131072)
    floor (35945.5)     		tx = 35945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799755096435547 × 217)
    floor (0.799755096435547 × 131072)
    floor (104825.5)     		ty = 104825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35945 / 104825 ti = "17/35945/104825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35945/104825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35945 ÷ 217
    35945 ÷ 131072     		x = 0.274238586425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104825 ÷ 217
    104825 ÷ 131072     		y = 0.799751281738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274238586425781 × 2 - 1) × π
    -0.451522827148438 × 3.1415926535     		Λ = -1.41850080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799751281738281 × 2 - 1) × π
    -0.599502563476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.88339284917239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41850080} λ = -1.41850080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88339284917239))-π/2
    2×atan(0.152073267815239)-π/2
    2×0.150916974103724-π/2
    0.301833948207447-1.57079632675     		φ = -1.26896238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41850080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.274109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26896238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.706189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35945 KachelY 104825 -1.41850080 -1.26896238 -81.274109 -72.706189
    Oben rechts KachelX + 1 35946 KachelY 104825 -1.41845286 -1.26896238 -81.271362 -72.706189
    Unten links KachelX 35945 KachelY + 1 104826 -1.41850080 -1.26897663 -81.274109 -72.707005
    Unten rechts KachelX + 1 35946 KachelY + 1 104826 -1.41845286 -1.26897663 -81.271362 -72.707005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26896238--1.26897663) × R
    1.42499999999934e-05 × 6371000     		dl = 90.7867499999582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26896238--1.26897663) × R
    1.42499999999934e-05 × 6371000     		dr = 90.7867499999582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41850080--1.41845286) × cos(-1.26896238) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.297271745001091 × 6371000     		do = 90.7944426979899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41850080--1.41845286) × cos(-1.26897663) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.297258139171877 × 6371000     		du = 90.7902871275339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26896238)-sin(-1.26897663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297271745001091-0.297258139171877)×R²
    abs(-1.41845286--1.41850080)×1.36058292138364e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.36058292138364e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.36058292138364e-05×40589641000000     		ar = 8242.74373530558m²