Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35944 / 104552
↖ ↑ ↗
← S 72.481891°
W 81.276855°		 ← 91.92 m → S 72.481891°
W 81.274109°		 →
↑
91.93 m
↓
↑
91.93 m
↓
S 72.482718°
W 81.276855°		 ← 91.91 m →
8 450 m²		 S 72.482718°
W 81.274109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274234771728516 y=0.797672271728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274234771728516 × 217)
    floor (0.274234771728516 × 131072)
    floor (35944.5)     		tx = 35944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797672271728516 × 217)
    floor (0.797672271728516 × 131072)
    floor (104552.5)     		ty = 104552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35944 / 104552 ti = "17/35944/104552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35944/104552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35944 ÷ 217
    35944 ÷ 131072     		x = 0.27423095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104552 ÷ 217
    104552 ÷ 131072     		y = 0.79766845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27423095703125 × 2 - 1) × π
    -0.4515380859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41854873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79766845703125 × 2 - 1) × π
    -0.5953369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.87030607557611
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41854873} λ = -1.41854873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87030607557611))-π/2
    2×atan(0.154076495545139)-π/2
    2×0.152874336481532-π/2
    0.305748672963064-1.57079632675     		φ = -1.26504765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41854873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.276855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26504765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.481891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35944 KachelY 104552 -1.41854873 -1.26504765 -81.276855 -72.481891
    Oben rechts KachelX + 1 35945 KachelY 104552 -1.41850080 -1.26504765 -81.274109 -72.481891
    Unten links KachelX 35944 KachelY + 1 104553 -1.41854873 -1.26506208 -81.276855 -72.482718
    Unten rechts KachelX + 1 35945 KachelY + 1 104553 -1.41850080 -1.26506208 -81.274109 -72.482718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26504765--1.26506208) × R
    1.44300000000097e-05 × 6371000     		dl = 91.9335300000619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26504765--1.26506208) × R
    1.44300000000097e-05 × 6371000     		dr = 91.9335300000619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41854873--1.41850080) × cos(-1.26504765) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.301007214062116 × 6371000     		do = 91.9161739307087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41854873--1.41850080) × cos(-1.26506208) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.300993453267299 × 6371000     		du = 91.9119719064688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26504765)-sin(-1.26506208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301007214062116-0.300993453267299)×R²
    abs(-1.41850080--1.41854873)×1.37607948174079e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.37607948174079e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.37607948174079e-05×40589641000000     		ar = 8449.98518014415m²