Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35944 / 104435
↖ ↑ ↗
← S 72.384904°
W 81.276855°		 ← 92.41 m → S 72.384904°
W 81.274109°		 →
↑
92.38 m
↓
↑
92.38 m
↓
S 72.385735°
W 81.276855°		 ← 92.40 m →
8 536 m²		 S 72.385735°
W 81.274109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274234771728516 y=0.796779632568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274234771728516 × 217)
    floor (0.274234771728516 × 131072)
    floor (35944.5)     		tx = 35944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796779632568359 × 217)
    floor (0.796779632568359 × 131072)
    floor (104435.5)     		ty = 104435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35944 / 104435 ti = "17/35944/104435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35944/104435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35944 ÷ 217
    35944 ÷ 131072     		x = 0.27423095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104435 ÷ 217
    104435 ÷ 131072     		y = 0.796775817871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27423095703125 × 2 - 1) × π
    -0.4515380859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41854873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796775817871094 × 2 - 1) × π
    -0.593551635742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.86469745832056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41854873} λ = -1.41854873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86469745832056))-π/2
    2×atan(0.154943079534038)-π/2
    2×0.153720714605173-π/2
    0.307441429210347-1.57079632675     		φ = -1.26335490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41854873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.276855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26335490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.384904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35944 KachelY 104435 -1.41854873 -1.26335490 -81.276855 -72.384904
    Oben rechts KachelX + 1 35945 KachelY 104435 -1.41850080 -1.26335490 -81.274109 -72.384904
    Unten links KachelX 35944 KachelY + 1 104436 -1.41854873 -1.26336940 -81.276855 -72.385735
    Unten rechts KachelX + 1 35945 KachelY + 1 104436 -1.41850080 -1.26336940 -81.274109 -72.385735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26335490--1.26336940) × R
    1.45000000000284e-05 × 6371000     		dl = 92.3795000001808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26335490--1.26336940) × R
    1.45000000000284e-05 × 6371000     		dr = 92.3795000001808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41854873--1.41850080) × cos(-1.26335490) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.30262102544603 × 6371000     		do = 92.408970650938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41854873--1.41850080) × cos(-1.26336940) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.3026072053052 × 6371000     		du = 92.4047505046791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26335490)-sin(-1.26336940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30262102544603-0.3026072053052)×R²
    abs(-1.41850080--1.41854873)×1.38201408305672e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.38201408305672e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.38201408305672e-05×40589641000000     		ar = 8536.49957673957m²