Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35941 / 104909
↖ ↑ ↗
← S 72.774641°
W 81.285095°		 ← 90.43 m → S 72.774641°
W 81.282349°		 →
↑
90.47 m
↓
↑
90.47 m
↓
S 72.775455°
W 81.285095°		 ← 90.42 m →
8 181 m²		 S 72.775455°
W 81.282349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274211883544922 y=0.800395965576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274211883544922 × 217)
    floor (0.274211883544922 × 131072)
    floor (35941.5)     		tx = 35941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800395965576172 × 217)
    floor (0.800395965576172 × 131072)
    floor (104909.5)     		ty = 104909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35941 / 104909 ti = "17/35941/104909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35941/104909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35941 ÷ 217
    35941 ÷ 131072     		x = 0.274208068847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104909 ÷ 217
    104909 ÷ 131072     		y = 0.800392150878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274208068847656 × 2 - 1) × π
    -0.451583862304688 × 3.1415926535     		Λ = -1.41869254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800392150878906 × 2 - 1) × π
    -0.600784301757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.88741954874047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41869254} λ = -1.41869254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88741954874047))-π/2
    2×atan(0.151462145681769)-π/2
    2×0.150319611305439-π/2
    0.300639222610877-1.57079632675     		φ = -1.27015710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41869254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.285095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27015710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.774641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35941 KachelY 104909 -1.41869254 -1.27015710 -81.285095 -72.774641
    Oben rechts KachelX + 1 35942 KachelY 104909 -1.41864461 -1.27015710 -81.282349 -72.774641
    Unten links KachelX 35941 KachelY + 1 104910 -1.41869254 -1.27017130 -81.285095 -72.775455
    Unten rechts KachelX + 1 35942 KachelY + 1 104910 -1.41864461 -1.27017130 -81.282349 -72.775455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27015710--1.27017130) × R
    1.41999999998532e-05 × 6371000     		dl = 90.4681999990649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27015710--1.27017130) × R
    1.41999999998532e-05 × 6371000     		dr = 90.4681999990649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41869254--1.41864461) × cos(-1.27015710) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.296130822925357 × 6371000     		do = 90.4271092336939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41869254--1.41864461) × cos(-1.27017130) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.29611725980257 × 6371000     		du = 90.4229675709867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27015710)-sin(-1.27017130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296130822925357-0.29611725980257)×R²
    abs(-1.41864461--1.41869254)×1.35631227865529e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.35631227865529e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.35631227865529e-05×40589641000000     		ar = 8180.59045929466m²