Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35940 / 104919
↖ ↑ ↗
← S 72.782773°
W 81.287842°		 ← 90.40 m → S 72.782773°
W 81.285095°		 →
↑
90.40 m
↓
↑
90.40 m
↓
S 72.783586°
W 81.287842°		 ← 90.40 m →
8 173 m²		 S 72.783586°
W 81.285095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274204254150391 y=0.800472259521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274204254150391 × 217)
    floor (0.274204254150391 × 131072)
    floor (35940.5)     		tx = 35940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800472259521484 × 217)
    floor (0.800472259521484 × 131072)
    floor (104919.5)     		ty = 104919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35940 / 104919 ti = "17/35940/104919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35940/104919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35940 ÷ 217
    35940 ÷ 131072     		x = 0.274200439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104919 ÷ 217
    104919 ÷ 131072     		y = 0.800468444824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274200439453125 × 2 - 1) × π
    -0.45159912109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41874048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800468444824219 × 2 - 1) × π
    -0.600936889648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.88789891773667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41874048} λ = -1.41874048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88789891773667))-π/2
    2×atan(0.151389556824845)-π/2
    2×0.150248649585762-π/2
    0.300497299171523-1.57079632675     		φ = -1.27029903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41874048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.287842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27029903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.782773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35940 KachelY 104919 -1.41874048 -1.27029903 -81.287842 -72.782773
    Oben rechts KachelX + 1 35941 KachelY 104919 -1.41869254 -1.27029903 -81.285095 -72.782773
    Unten links KachelX 35940 KachelY + 1 104920 -1.41874048 -1.27031322 -81.287842 -72.783586
    Unten rechts KachelX + 1 35941 KachelY + 1 104920 -1.41869254 -1.27031322 -81.285095 -72.783586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27029903--1.27031322) × R
    1.4189999999914e-05 × 6371000     		dl = 90.4044899994521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27029903--1.27031322) × R
    1.4189999999914e-05 × 6371000     		dr = 90.4044899994521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41874048--1.41869254) × cos(-1.27029903) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.295995255874169 × 6371000     		do = 90.4045700622168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41874048--1.41869254) × cos(-1.27031322) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.295981701706645 × 6371000     		du = 90.4004302705706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27029903)-sin(-1.27031322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295995255874169-0.295981701706645)×R²
    abs(-1.41869254--1.41874048)×1.35541675240214e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.35541675240214e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.35541675240214e-05×40589641000000     		ar = 8172.79192225066m²