Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35939 / 47777
↖ ↑ ↗
← S 63.315150°
E 17.418823°		 ← 274.29 m → S 63.315150°
E 17.424316°		 →
↑
274.27 m
↓
↑
274.27 m
↓
S 63.317616°
E 17.418823°		 ← 274.27 m →
75 228 m²		 S 63.317616°
E 17.424316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548393249511719 y=0.729026794433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548393249511719 × 216)
    floor (0.548393249511719 × 65536)
    floor (35939.5)     		tx = 35939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729026794433594 × 216)
    floor (0.729026794433594 × 65536)
    floor (47777.5)     		ty = 47777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35939 / 47777 ti = "16/35939/47777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35939/47777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35939 ÷ 216
    35939 ÷ 65536     		x = 0.548385620117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47777 ÷ 216
    47777 ÷ 65536     		y = 0.729019165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548385620117188 × 2 - 1) × π
    0.096771240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30401582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729019165039062 × 2 - 1) × π
    -0.458038330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43896985279485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30401582} λ = 0.30401582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43896985279485))-π/2
    2×atan(0.237171954907986)-π/2
    2×0.232869248454599-π/2
    0.465738496909198-1.57079632675     		φ = -1.10505783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30401582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.418823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10505783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.315150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35939 KachelY 47777 0.30401582 -1.10505783 17.418823 -63.315150
    Oben rechts KachelX + 1 35940 KachelY 47777 0.30411169 -1.10505783 17.424316 -63.315150
    Unten links KachelX 35939 KachelY + 1 47778 0.30401582 -1.10510088 17.418823 -63.317616
    Unten rechts KachelX + 1 35940 KachelY + 1 47778 0.30411169 -1.10510088 17.424316 -63.317616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10505783--1.10510088) × R
    4.30499999999334e-05 × 6371000     		dl = 274.271549999576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10505783--1.10510088) × R
    4.30499999999334e-05 × 6371000     		dr = 274.271549999576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30401582-0.30411169) × cos(-1.10505783) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449082763467194 × 6371000     		do = 274.294259643559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30401582-0.30411169) × cos(-1.10510088) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.449044298299541 × 6371000     		du = 274.270765589586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10505783)-sin(-1.10510088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449082763467194-0.449044298299541)×R²
    abs(0.30411169-0.30401582)×3.84651676526016e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84651676526016e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84651676526016e-05×40589641000000     		ar = 75227.8898847732m²