Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35938 / 47734
↖ ↑ ↗
← S 63.208878°
E 17.413330°		 ← 275.33 m → S 63.208878°
E 17.418823°		 →
↑
275.29 m
↓
↑
275.29 m
↓
S 63.211354°
E 17.413330°		 ← 275.31 m →
75 794 m²		 S 63.211354°
E 17.418823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548377990722656 y=0.728370666503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548377990722656 × 216)
    floor (0.548377990722656 × 65536)
    floor (35938.5)     		tx = 35938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728370666503906 × 216)
    floor (0.728370666503906 × 65536)
    floor (47734.5)     		ty = 47734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35938 / 47734 ti = "16/35938/47734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35938/47734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35938 ÷ 216
    35938 ÷ 65536     		x = 0.548370361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47734 ÷ 216
    47734 ÷ 65536     		y = 0.728363037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548370361328125 × 2 - 1) × π
    0.09674072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30391994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728363037109375 × 2 - 1) × π
    -0.45672607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43484727942752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30391994} λ = 0.30391994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43484727942752))-π/2
    2×atan(0.238151731906387)-π/2
    2×0.233796643215602-π/2
    0.467593286431204-1.57079632675     		φ = -1.10320304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30391994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.413330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10320304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.208878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35938 KachelY 47734 0.30391994 -1.10320304 17.413330 -63.208878
    Oben rechts KachelX + 1 35939 KachelY 47734 0.30401582 -1.10320304 17.418823 -63.208878
    Unten links KachelX 35938 KachelY + 1 47735 0.30391994 -1.10324625 17.413330 -63.211354
    Unten rechts KachelX + 1 35939 KachelY + 1 47735 0.30401582 -1.10324625 17.418823 -63.211354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10320304--1.10324625) × R
    4.32100000000712e-05 × 6371000     		dl = 275.290910000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10320304--1.10324625) × R
    4.32100000000712e-05 × 6371000     		dr = 275.290910000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30391994-0.30401582) × cos(-1.10320304) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.450739226659237 × 6371000     		do = 275.33472369883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30391994-0.30401582) × cos(-1.10324625) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.450700654586854 × 6371000     		du = 275.311161891328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10320304)-sin(-1.10324625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450739226659237-0.450700654586854)×R²
    abs(0.30401582-0.30391994)×3.8572072383003e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.8572072383003e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.8572072383003e-05×40589641000000     		ar = 75793.9034781667m²