Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35938 / 47730
↖ ↑ ↗
← S 63.198972°
E 17.413330°		 ← 275.43 m → S 63.198972°
E 17.418823°		 →
↑
275.42 m
↓
↑
275.42 m
↓
S 63.201449°
E 17.413330°		 ← 275.41 m →
75 855 m²		 S 63.201449°
E 17.418823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548377990722656 y=0.728309631347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548377990722656 × 216)
    floor (0.548377990722656 × 65536)
    floor (35938.5)     		tx = 35938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728309631347656 × 216)
    floor (0.728309631347656 × 65536)
    floor (47730.5)     		ty = 47730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35938 / 47730 ti = "16/35938/47730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35938/47730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35938 ÷ 216
    35938 ÷ 65536     		x = 0.548370361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47730 ÷ 216
    47730 ÷ 65536     		y = 0.728302001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548370361328125 × 2 - 1) × π
    0.09674072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30391994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728302001953125 × 2 - 1) × π
    -0.45660400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43446378423056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30391994} λ = 0.30391994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43446378423056))-π/2
    2×atan(0.238243079466277)-π/2
    2×0.233883086174491-π/2
    0.467766172348981-1.57079632675     		φ = -1.10303015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30391994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.413330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10303015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.198972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35938 KachelY 47730 0.30391994 -1.10303015 17.413330 -63.198972
    Oben rechts KachelX + 1 35939 KachelY 47730 0.30401582 -1.10303015 17.418823 -63.198972
    Unten links KachelX 35938 KachelY + 1 47731 0.30391994 -1.10307338 17.413330 -63.201449
    Unten rechts KachelX + 1 35939 KachelY + 1 47731 0.30401582 -1.10307338 17.418823 -63.201449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10303015--1.10307338) × R
    4.32300000001717e-05 × 6371000     		dl = 275.418330001094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10303015--1.10307338) × R
    4.32300000001717e-05 × 6371000     		dr = 275.418330001094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30391994-0.30401582) × cos(-1.10303015) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.450893551161166 × 6371000     		do = 275.428993049233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30391994-0.30401582) × cos(-1.10307338) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.450854964604553 × 6371000     		du = 275.405422394017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10303015)-sin(-1.10307338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450893551161166-0.450854964604553)×R²
    abs(0.30401582-0.30391994)×3.85865566130406e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.85865566130406e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.85865566130406e-05×40589641000000     		ar = 75854.9474158639m²