Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35938 / 104906
↖ ↑ ↗
← S 72.772201°
W 81.293335°		 ← 90.44 m → S 72.772201°
W 81.290588°		 →
↑
90.47 m
↓
↑
90.47 m
↓
S 72.773015°
W 81.293335°		 ← 90.44 m →
8 182 m²		 S 72.773015°
W 81.290588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274188995361328 y=0.800373077392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274188995361328 × 217)
    floor (0.274188995361328 × 131072)
    floor (35938.5)     		tx = 35938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800373077392578 × 217)
    floor (0.800373077392578 × 131072)
    floor (104906.5)     		ty = 104906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35938 / 104906 ti = "17/35938/104906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35938/104906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35938 ÷ 217
    35938 ÷ 131072     		x = 0.274185180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104906 ÷ 217
    104906 ÷ 131072     		y = 0.800369262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274185180664062 × 2 - 1) × π
    -0.451629638671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41883635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800369262695312 × 2 - 1) × π
    -0.600738525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88727573804161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41883635} λ = -1.41883635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88727573804161))-π/2
    2×atan(0.151483929125099)-π/2
    2×0.150340906157946-π/2
    0.300681812315891-1.57079632675     		φ = -1.27011451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41883635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.293335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27011451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.772201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35938 KachelY 104906 -1.41883635 -1.27011451 -81.293335 -72.772201
    Oben rechts KachelX + 1 35939 KachelY 104906 -1.41878842 -1.27011451 -81.290588 -72.772201
    Unten links KachelX 35938 KachelY + 1 104907 -1.41883635 -1.27012871 -81.293335 -72.773015
    Unten rechts KachelX + 1 35939 KachelY + 1 104907 -1.41878842 -1.27012871 -81.290588 -72.773015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27011451--1.27012871) × R
    1.42000000000753e-05 × 6371000     		dl = 90.4682000004795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27011451--1.27012871) × R
    1.42000000000753e-05 × 6371000     		dr = 90.4682000004795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41883635--1.41878842) × cos(-1.27011451) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.296171502384087 × 6371000     		do = 90.4395311962101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41883635--1.41878842) × cos(-1.27012871) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.296157939440402 × 6371000     		du = 90.4353895881936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27011451)-sin(-1.27012871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296171502384087-0.296157939440402)×R²
    abs(-1.41878842--1.41883635)×1.35629436851525e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.35629436851525e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.35629436851525e-05×40589641000000     		ar = 8181.71425437581m²