Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35935 / 47873
↖ ↑ ↗
← S 63.550999°
E 17.396850°		 ← 272.07 m → S 63.550999°
E 17.402344°		 →
↑
272.04 m
↓
↑
272.04 m
↓
S 63.553446°
E 17.396850°		 ← 272.05 m →
74 012 m²		 S 63.553446°
E 17.402344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548332214355469 y=0.730491638183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548332214355469 × 216)
    floor (0.548332214355469 × 65536)
    floor (35935.5)     		tx = 35935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730491638183594 × 216)
    floor (0.730491638183594 × 65536)
    floor (47873.5)     		ty = 47873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35935 / 47873 ti = "16/35935/47873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35935/47873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35935 ÷ 216
    35935 ÷ 65536     		x = 0.548324584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47873 ÷ 216
    47873 ÷ 65536     		y = 0.730484008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548324584960938 × 2 - 1) × π
    0.096649169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.30363232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730484008789062 × 2 - 1) × π
    -0.460968017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4481737375219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30363232} λ = 0.30363232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4481737375219))-π/2
    2×atan(0.234999066421134)-π/2
    2×0.23081107568229-π/2
    0.46162215136458-1.57079632675     		φ = -1.10917418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30363232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.396850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10917418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.550999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35935 KachelY 47873 0.30363232 -1.10917418 17.396850 -63.550999
    Oben rechts KachelX + 1 35936 KachelY 47873 0.30372820 -1.10917418 17.402344 -63.550999
    Unten links KachelX 35935 KachelY + 1 47874 0.30363232 -1.10921688 17.396850 -63.553446
    Unten rechts KachelX + 1 35936 KachelY + 1 47874 0.30372820 -1.10921688 17.402344 -63.553446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10917418--1.10921688) × R
    4.27000000000621e-05 × 6371000     		dl = 272.041700000396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10917418--1.10921688) × R
    4.27000000000621e-05 × 6371000     		dr = 272.041700000396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30363232-0.30372820) × cos(-1.10917418) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.445401050921413 × 6371000     		do = 272.07389114888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30363232-0.30372820) × cos(-1.10921688) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.445362819874422 × 6371000     		du = 272.050537657243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10917418)-sin(-1.10921688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445401050921413-0.445362819874422)×R²
    abs(0.30372820-0.30363232)×3.82310469918545e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.82310469918545e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.82310469918545e-05×40589641000000     		ar = 74012.2673230147m²