Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35935 / 104545
↖ ↑ ↗
← S 72.476103°
W 81.301575°		 ← 91.96 m → S 72.476103°
W 81.298828°		 →
↑
92 m
↓
↑
92 m
↓
S 72.476931°
W 81.301575°		 ← 91.96 m →
8 460 m²		 S 72.476931°
W 81.298828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274166107177734 y=0.797618865966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274166107177734 × 217)
    floor (0.274166107177734 × 131072)
    floor (35935.5)     		tx = 35935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797618865966797 × 217)
    floor (0.797618865966797 × 131072)
    floor (104545.5)     		ty = 104545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35935 / 104545 ti = "17/35935/104545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35935/104545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35935 ÷ 217
    35935 ÷ 131072     		x = 0.274162292480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104545 ÷ 217
    104545 ÷ 131072     		y = 0.797615051269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274162292480469 × 2 - 1) × π
    -0.451675415039062 × 3.1415926535     		Λ = -1.41898017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797615051269531 × 2 - 1) × π
    -0.595230102539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.86997051727877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41898017} λ = -1.41898017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86997051727877))-π/2
    2×atan(0.154128205867073)-π/2
    2×0.152924847296143-π/2
    0.305849694592287-1.57079632675     		φ = -1.26494663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41898017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.301575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26494663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.476103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35935 KachelY 104545 -1.41898017 -1.26494663 -81.301575 -72.476103
    Oben rechts KachelX + 1 35936 KachelY 104545 -1.41893223 -1.26494663 -81.298828 -72.476103
    Unten links KachelX 35935 KachelY + 1 104546 -1.41898017 -1.26496107 -81.301575 -72.476931
    Unten rechts KachelX + 1 35936 KachelY + 1 104546 -1.41893223 -1.26496107 -81.298828 -72.476931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26494663--1.26496107) × R
    1.44399999999489e-05 × 6371000     		dl = 91.9972399996747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26494663--1.26496107) × R
    1.44399999999489e-05 × 6371000     		dr = 91.9972399996747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41898017--1.41893223) × cos(-1.26494663) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.30110354740663 × 6371000     		do = 91.9647737832349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41898017--1.41893223) × cos(-1.26496107) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.301089777514699 × 6371000     		du = 91.9605681038021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26494663)-sin(-1.26496107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30110354740663-0.301089777514699)×R²
    abs(-1.41893223--1.41898017)×1.37698919312479e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.37698919312479e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.37698919312479e-05×40589641000000     		ar = 8460.31191006372m²