Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35933 / 104916
↖ ↑ ↗
← S 72.780334°
W 81.307068°		 ← 90.42 m → S 72.780334°
W 81.304321°		 →
↑
90.40 m
↓
↑
90.40 m
↓
S 72.781147°
W 81.307068°		 ← 90.41 m →
8 174 m²		 S 72.781147°
W 81.304321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274150848388672 y=0.800449371337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274150848388672 × 217)
    floor (0.274150848388672 × 131072)
    floor (35933.5)     		tx = 35933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800449371337891 × 217)
    floor (0.800449371337891 × 131072)
    floor (104916.5)     		ty = 104916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35933 / 104916 ti = "17/35933/104916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35933/104916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35933 ÷ 217
    35933 ÷ 131072     		x = 0.274147033691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104916 ÷ 217
    104916 ÷ 131072     		y = 0.800445556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274147033691406 × 2 - 1) × π
    -0.451705932617188 × 3.1415926535     		Λ = -1.41907604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800445556640625 × 2 - 1) × π
    -0.60089111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.88775510703781
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41907604} λ = -1.41907604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88775510703781))-π/2
    2×atan(0.15141132982837)-π/2
    2×0.150269934690118-π/2
    0.300539869380236-1.57079632675     		φ = -1.27025646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41907604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.307068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27025646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.780334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35933 KachelY 104916 -1.41907604 -1.27025646 -81.307068 -72.780334
    Oben rechts KachelX + 1 35934 KachelY 104916 -1.41902810 -1.27025646 -81.304321 -72.780334
    Unten links KachelX 35933 KachelY + 1 104917 -1.41907604 -1.27027065 -81.307068 -72.781147
    Unten rechts KachelX + 1 35934 KachelY + 1 104917 -1.41902810 -1.27027065 -81.304321 -72.781147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27025646--1.27027065) × R
    1.4190000000136e-05 × 6371000     		dl = 90.4044900008667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27025646--1.27027065) × R
    1.4190000000136e-05 × 6371000     		dr = 90.4044900008667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41907604--1.41902810) × cos(-1.27025646) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296035918019128 × 6371000     		do = 90.4169893275121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41907604--1.41902810) × cos(-1.27027065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.296022364030413 × 6371000     		du = 90.412849590479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27025646)-sin(-1.27027065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296035918019128-0.296022364030413)×R²
    abs(-1.41902810--1.41907604)×1.35539887147207e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35539887147207e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35539887147207e-05×40589641000000     		ar = 8173.91468230219m²