Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35932 / 47738
↖ ↑ ↗
← S 63.218781°
E 17.380371°		 ← 275.21 m → S 63.218781°
E 17.385864°		 →
↑
275.16 m
↓
↑
275.16 m
↓
S 63.221255°
E 17.380371°		 ← 275.19 m →
75 725 m²		 S 63.221255°
E 17.385864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548286437988281 y=0.728431701660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548286437988281 × 216)
    floor (0.548286437988281 × 65536)
    floor (35932.5)     		tx = 35932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728431701660156 × 216)
    floor (0.728431701660156 × 65536)
    floor (47738.5)     		ty = 47738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35932 / 47738 ti = "16/35932/47738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35932/47738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35932 ÷ 216
    35932 ÷ 65536     		x = 0.54827880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47738 ÷ 216
    47738 ÷ 65536     		y = 0.728424072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54827880859375 × 2 - 1) × π
    0.0965576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.30334470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728424072265625 × 2 - 1) × π
    -0.45684814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43523077462448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30334470} λ = 0.30334470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43523077462448))-π/2
    2×atan(0.238060419371132)-π/2
    2×0.233710229843594-π/2
    0.467420459687189-1.57079632675     		φ = -1.10337587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30334470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.380371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10337587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.218781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35932 KachelY 47738 0.30334470 -1.10337587 17.380371 -63.218781
    Oben rechts KachelX + 1 35933 KachelY 47738 0.30344057 -1.10337587 17.385864 -63.218781
    Unten links KachelX 35932 KachelY + 1 47739 0.30334470 -1.10341906 17.380371 -63.221255
    Unten rechts KachelX + 1 35933 KachelY + 1 47739 0.30344057 -1.10341906 17.385864 -63.221255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10337587--1.10341906) × R
    4.31899999999708e-05 × 6371000     		dl = 275.163489999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10337587--1.10341906) × R
    4.31899999999708e-05 × 6371000     		dr = 275.163489999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30334470-0.30344057) × cos(-1.10337587) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.450584942248299 × 6371000     		do = 275.211772071411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30334470-0.30344057) × cos(-1.10341906) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.450546384665583 × 6371000     		du = 275.188221571448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10337587)-sin(-1.10341906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450584942248299-0.450546384665583)×R²
    abs(0.30344057-0.30334470)×3.85575827157592e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.85575827157592e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.85575827157592e-05×40589641000000     		ar = 75724.9915850845m²