Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35931 / 47735
↖ ↑ ↗
← S 63.211354°
E 17.374878°		 ← 275.28 m → S 63.211354°
E 17.380371°		 →
↑
275.29 m
↓
↑
275.29 m
↓
S 63.213830°
E 17.374878°		 ← 275.26 m →
75 780 m²		 S 63.213830°
E 17.380371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548271179199219 y=0.728385925292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548271179199219 × 216)
    floor (0.548271179199219 × 65536)
    floor (35931.5)     		tx = 35931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728385925292969 × 216)
    floor (0.728385925292969 × 65536)
    floor (47735.5)     		ty = 47735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35931 / 47735 ti = "16/35931/47735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35931/47735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35931 ÷ 216
    35931 ÷ 65536     		x = 0.548263549804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47735 ÷ 216
    47735 ÷ 65536     		y = 0.728378295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548263549804688 × 2 - 1) × π
    0.096527099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30324883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728378295898438 × 2 - 1) × π
    -0.456756591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43494315322676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30324883} λ = 0.30324883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43494315322676))-π/2
    2×atan(0.238128900489539)-π/2
    2×0.233775037099125-π/2
    0.46755007419825-1.57079632675     		φ = -1.10324625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30324883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.374878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10324625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.211354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35931 KachelY 47735 0.30324883 -1.10324625 17.374878 -63.211354
    Oben rechts KachelX + 1 35932 KachelY 47735 0.30334470 -1.10324625 17.380371 -63.211354
    Unten links KachelX 35931 KachelY + 1 47736 0.30324883 -1.10328946 17.374878 -63.213830
    Unten rechts KachelX + 1 35932 KachelY + 1 47736 0.30334470 -1.10328946 17.380371 -63.213830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10324625--1.10328946) × R
    4.32100000000712e-05 × 6371000     		dl = 275.290910000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10324625--1.10328946) × R
    4.32100000000712e-05 × 6371000     		dr = 275.290910000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30324883-0.30334470) × cos(-1.10324625) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.450700654586854 × 6371000     		do = 275.282447752639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30324883-0.30334470) × cos(-1.10328946) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.450662081672966 × 6371000     		du = 275.258887888583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10324625)-sin(-1.10328946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450700654586854-0.450662081672966)×R²
    abs(0.30334470-0.30324883)×3.85729138880353e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.85729138880353e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.85729138880353e-05×40589641000000     		ar = 75779.5126524329m²