Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35930 / 104922
↖ ↑ ↗
← S 72.785212°
W 81.315308°		 ← 90.39 m → S 72.785212°
W 81.312561°		 →
↑
90.40 m
↓
↑
90.40 m
↓
S 72.786025°
W 81.315308°		 ← 90.39 m →
8 172 m²		 S 72.786025°
W 81.312561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274127960205078 y=0.800495147705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274127960205078 × 217)
    floor (0.274127960205078 × 131072)
    floor (35930.5)     		tx = 35930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800495147705078 × 217)
    floor (0.800495147705078 × 131072)
    floor (104922.5)     		ty = 104922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35930 / 104922 ti = "17/35930/104922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35930/104922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35930 ÷ 217
    35930 ÷ 131072     		x = 0.274124145507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104922 ÷ 217
    104922 ÷ 131072     		y = 0.800491333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274124145507812 × 2 - 1) × π
    -0.451751708984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41921985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800491333007812 × 2 - 1) × π
    -0.600982666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88804272843553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41921985} λ = -1.41921985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88804272843553))-π/2
    2×atan(0.151367786952285)-π/2
    2×0.150227367405064-π/2
    0.300454734810128-1.57079632675     		φ = -1.27034159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41921985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.315308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27034159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.785212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35930 KachelY 104922 -1.41921985 -1.27034159 -81.315308 -72.785212
    Oben rechts KachelX + 1 35931 KachelY 104922 -1.41917191 -1.27034159 -81.312561 -72.785212
    Unten links KachelX 35930 KachelY + 1 104923 -1.41921985 -1.27035578 -81.315308 -72.786025
    Unten rechts KachelX + 1 35931 KachelY + 1 104923 -1.41917191 -1.27035578 -81.312561 -72.786025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27034159--1.27035578) × R
    1.4190000000136e-05 × 6371000     		dl = 90.4044900008667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27034159--1.27035578) × R
    1.4190000000136e-05 × 6371000     		dr = 90.4044900008667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41921985--1.41917191) × cos(-1.27034159) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295954602744826 × 6371000     		do = 90.3921535496853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41921985--1.41917191) × cos(-1.27035578) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.295941048398559 × 6371000     		du = 90.3880137034464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27034159)-sin(-1.27035578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295954602744826-0.295941048398559)×R²
    abs(-1.41917191--1.41921985)×1.35543462672638e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.35543462672638e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.35543462672638e-05×40589641000000     		ar = 8171.66941142745m²