Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3593 / 5469
↖ ↑ ↗
← S 51.536086°
W 22.104492°		 ← 3 039.50 m → S 51.536086°
W 22.060547°		 →
↑
3 038.58 m
↓
↑
3 038.58 m
↓
S 51.563412°
W 22.104492°		 ← 3 037.68 m →
9 233 019 m²		 S 51.563412°
W 22.060547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43865966796875 y=0.66766357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43865966796875 × 213)
    floor (0.43865966796875 × 8192)
    floor (3593.5)     		tx = 3593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66766357421875 × 213)
    floor (0.66766357421875 × 8192)
    floor (5469.5)     		ty = 5469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3593 / 5469 ti = "13/3593/5469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3593/5469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3593 ÷ 213
    3593 ÷ 8192     		x = 0.4385986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5469 ÷ 213
    5469 ÷ 8192     		y = 0.6676025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.122802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38579617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6676025390625 × 2 - 1) × π
    -0.335205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.05307781085339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38579617} λ = -0.38579617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05307781085339))-π/2
    2×atan(0.348862362675871)-π/2
    2×0.335660974736416-π/2
    0.671321949472832-1.57079632675     		φ = -0.89947438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38579617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.104492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89947438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.536086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3593 KachelY 5469 -0.38579617 -0.89947438 -22.104492 -51.536086
    Oben rechts KachelX + 1 3594 KachelY 5469 -0.38502918 -0.89947438 -22.060547 -51.536086
    Unten links KachelX 3593 KachelY + 1 5470 -0.38579617 -0.89995132 -22.104492 -51.563412
    Unten rechts KachelX + 1 3594 KachelY + 1 5470 -0.38502918 -0.89995132 -22.060547 -51.563412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89947438--0.89995132) × R
    0.000476939999999981 × 6371000     		dl = 3038.58473999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89947438--0.89995132) × R
    0.000476939999999981 × 6371000     		dr = 3038.58473999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38579617--0.38502918) × cos(-0.89947438) × R
    0.000766989999999967 × 0.622021614673869 × 6371000     		do = 3039.5044463387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38579617--0.38502918) × cos(-0.89995132) × R
    0.000766989999999967 × 0.621648099888082 × 6371000     		du = 3037.67926884424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89947438)-sin(-0.89995132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622021614673869-0.621648099888082)×R²
    abs(-0.38502918--0.38579617)×0.000373514785786511×R²
    0.000766989999999967×0.000373514785786511×6371000²
    0.000766989999999967×0.000373514785786511×40589641000000     		ar = 9233019.02458343m²