Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35929 / 47739
↖ ↑ ↗
← S 63.221255°
E 17.363892°		 ← 275.19 m → S 63.221255°
E 17.369385°		 →
↑
275.23 m
↓
↑
275.23 m
↓
S 63.223730°
E 17.363892°		 ← 275.16 m →
75 736 m²		 S 63.223730°
E 17.369385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548240661621094 y=0.728446960449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548240661621094 × 216)
    floor (0.548240661621094 × 65536)
    floor (35929.5)     		tx = 35929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728446960449219 × 216)
    floor (0.728446960449219 × 65536)
    floor (47739.5)     		ty = 47739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35929 / 47739 ti = "16/35929/47739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35929/47739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35929 ÷ 216
    35929 ÷ 65536     		x = 0.548233032226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47739 ÷ 216
    47739 ÷ 65536     		y = 0.728439331054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548233032226562 × 2 - 1) × π
    0.096466064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30305708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728439331054688 × 2 - 1) × π
    -0.456878662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.43532664842372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30305708} λ = 0.30305708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43532664842372))-π/2
    2×atan(0.238037596708343)-π/2
    2×0.233688631122658-π/2
    0.467377262245317-1.57079632675     		φ = -1.10341906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30305708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.363892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10341906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.221255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35929 KachelY 47739 0.30305708 -1.10341906 17.363892 -63.221255
    Oben rechts KachelX + 1 35930 KachelY 47739 0.30315295 -1.10341906 17.369385 -63.221255
    Unten links KachelX 35929 KachelY + 1 47740 0.30305708 -1.10346226 17.363892 -63.223730
    Unten rechts KachelX + 1 35930 KachelY + 1 47740 0.30315295 -1.10346226 17.369385 -63.223730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10341906--1.10346226) × R
    4.319999999991e-05 × 6371000     		dl = 275.227199999426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10341906--1.10346226) × R
    4.319999999991e-05 × 6371000     		dr = 275.227199999426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30305708-0.30315295) × cos(-1.10341906) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.450546384665583 × 6371000     		do = 275.188221571448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30305708-0.30315295) × cos(-1.10346226) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.450507817314704 × 6371000     		du = 275.16466510521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10341906)-sin(-1.10346226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450546384665583-0.450507817314704)×R²
    abs(0.30315295-0.30305708)×3.85673508789264e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.85673508789264e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.85673508789264e-05×40589641000000     		ar = 75736.0420173487m²