Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35928 / 21576
↖ ↑ ↗
← N 76.137695°
W 81.320801°		 ← 73.16 m → N 76.137695°
W 81.318054°		 →
↑
73.14 m
↓
↑
73.14 m
↓
N 76.137037°
W 81.320801°		 ← 73.16 m →
5 351 m²		 N 76.137037°
W 81.318054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274112701416016 y=0.164615631103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274112701416016 × 217)
    floor (0.274112701416016 × 131072)
    floor (35928.5)     		tx = 35928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164615631103516 × 217)
    floor (0.164615631103516 × 131072)
    floor (21576.5)     		ty = 21576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35928 / 21576 ti = "17/35928/21576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35928/21576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35928 ÷ 217
    35928 ÷ 131072     		x = 0.27410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21576 ÷ 217
    21576 ÷ 131072     		y = 0.16461181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.4517822265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41931572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16461181640625 × 2 - 1) × π
    0.6707763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10730610729767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41931572} λ = -1.41931572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10730610729767))-π/2
    2×atan(8.22605130974812)-π/2
    2×1.44982489496847-π/2
    2.89964978993694-1.57079632675     		φ = 1.32885346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41931572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.320801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32885346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.137695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35928 KachelY 21576 -1.41931572 1.32885346 -81.320801 76.137695
    Oben rechts KachelX + 1 35929 KachelY 21576 -1.41926779 1.32885346 -81.318054 76.137695
    Unten links KachelX 35928 KachelY + 1 21577 -1.41931572 1.32884198 -81.320801 76.137037
    Unten rechts KachelX + 1 35929 KachelY + 1 21577 -1.41926779 1.32884198 -81.318054 76.137037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32885346-1.32884198) × R
    1.14799999999526e-05 × 6371000     		dl = 73.1390799996983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32885346-1.32884198) × R
    1.14799999999526e-05 × 6371000     		dr = 73.1390799996983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41931572--1.41926779) × cos(1.32885346) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.23958935690619 × 6371000     		do = 73.1614923913134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41931572--1.41926779) × cos(1.32884198) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.239600502527565 × 6371000     		du = 73.1648958408821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32885346)-sin(1.32884198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23958935690619-0.239600502527565)×R²
    abs(-1.41926779--1.41931572)×1.11456213749139e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.11456213749139e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.11456213749139e-05×40589641000000     		ar = 5351.08870751573m²