Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35928 / 104925
↖ ↑ ↗
← S 72.787650°
W 81.320801°		 ← 90.36 m → S 72.787650°
W 81.318054°		 →
↑
90.40 m
↓
↑
90.40 m
↓
S 72.788463°
W 81.320801°		 ← 90.36 m →
8 169 m²		 S 72.788463°
W 81.318054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274112701416016 y=0.800518035888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274112701416016 × 217)
    floor (0.274112701416016 × 131072)
    floor (35928.5)     		tx = 35928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800518035888672 × 217)
    floor (0.800518035888672 × 131072)
    floor (104925.5)     		ty = 104925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35928 / 104925 ti = "17/35928/104925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35928/104925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35928 ÷ 217
    35928 ÷ 131072     		x = 0.27410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104925 ÷ 217
    104925 ÷ 131072     		y = 0.800514221191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.4517822265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41931572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800514221191406 × 2 - 1) × π
    -0.601028442382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.88818653913439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41931572} λ = -1.41931572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88818653913439))-π/2
    2×atan(0.151346020210241)-π/2
    2×0.150206088147662-π/2
    0.300412176295323-1.57079632675     		φ = -1.27038415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41931572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.320801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27038415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.787650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35928 KachelY 104925 -1.41931572 -1.27038415 -81.320801 -72.787650
    Oben rechts KachelX + 1 35929 KachelY 104925 -1.41926779 -1.27038415 -81.318054 -72.787650
    Unten links KachelX 35928 KachelY + 1 104926 -1.41931572 -1.27039834 -81.320801 -72.788463
    Unten rechts KachelX + 1 35929 KachelY + 1 104926 -1.41926779 -1.27039834 -81.318054 -72.788463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27038415--1.27039834) × R
    1.4190000000136e-05 × 6371000     		dl = 90.4044900008667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27038415--1.27039834) × R
    1.4190000000136e-05 × 6371000     		dr = 90.4044900008667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41931572--1.41926779) × cos(-1.27038415) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.295913949079405 × 6371000     		do = 90.360884196259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41931572--1.41926779) × cos(-1.27039834) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.295900394554419 × 6371000     		du = 90.3567451589937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27038415)-sin(-1.27039834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295913949079405-0.295900394554419)×R²
    abs(-1.41926779--1.41931572)×1.35545249856928e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.35545249856928e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.35545249856928e-05×40589641000000     		ar = 8168.84255806859m²