Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35926 / 47878
↖ ↑ ↗
← S 63.563230°
E 17.347412°		 ← 271.93 m → S 63.563230°
E 17.352905°		 →
↑
271.91 m
↓
↑
271.91 m
↓
S 63.565675°
E 17.347412°		 ← 271.91 m →
73 938 m²		 S 63.565675°
E 17.352905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548194885253906 y=0.730567932128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548194885253906 × 216)
    floor (0.548194885253906 × 65536)
    floor (35926.5)     		tx = 35926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730567932128906 × 216)
    floor (0.730567932128906 × 65536)
    floor (47878.5)     		ty = 47878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35926 / 47878 ti = "16/35926/47878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35926/47878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35926 ÷ 216
    35926 ÷ 65536     		x = 0.548187255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47878 ÷ 216
    47878 ÷ 65536     		y = 0.730560302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548187255859375 × 2 - 1) × π
    0.09637451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.30276946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730560302734375 × 2 - 1) × π
    -0.46112060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.4486531065181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30276946} λ = 0.30276946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4486531065181))-π/2
    2×atan(0.234886442151004)-π/2
    2×0.230704342860959-π/2
    0.461408685721917-1.57079632675     		φ = -1.10938764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30276946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.347412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10938764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.563230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35926 KachelY 47878 0.30276946 -1.10938764 17.347412 -63.563230
    Oben rechts KachelX + 1 35927 KachelY 47878 0.30286533 -1.10938764 17.352905 -63.563230
    Unten links KachelX 35926 KachelY + 1 47879 0.30276946 -1.10943032 17.347412 -63.565675
    Unten rechts KachelX + 1 35927 KachelY + 1 47879 0.30286533 -1.10943032 17.352905 -63.565675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10938764--1.10943032) × R
    4.26799999999616e-05 × 6371000     		dl = 271.914279999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10938764--1.10943032) × R
    4.26799999999616e-05 × 6371000     		dr = 271.914279999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30276946-0.30286533) × cos(-1.10938764) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.445209923383945 × 6371000     		do = 271.928776285545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30276946-0.30286533) × cos(-1.10943032) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.445171706187187 × 6371000     		du = 271.905433689161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10938764)-sin(-1.10943032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445209923383945-0.445171706187187)×R²
    abs(0.30286533-0.30276946)×3.82171967575617e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.82171967575617e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.82171967575617e-05×40589641000000     		ar = 73938.1438333041m²