Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35926 / 47742
↖ ↑ ↗
← S 63.228679°
E 17.347412°		 ← 275.12 m → S 63.228679°
E 17.352905°		 →
↑
275.16 m
↓
↑
275.16 m
↓
S 63.231154°
E 17.347412°		 ← 275.09 m →
75 699 m²		 S 63.231154°
E 17.352905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548194885253906 y=0.728492736816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548194885253906 × 216)
    floor (0.548194885253906 × 65536)
    floor (35926.5)     		tx = 35926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728492736816406 × 216)
    floor (0.728492736816406 × 65536)
    floor (47742.5)     		ty = 47742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35926 / 47742 ti = "16/35926/47742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35926/47742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35926 ÷ 216
    35926 ÷ 65536     		x = 0.548187255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47742 ÷ 216
    47742 ÷ 65536     		y = 0.728485107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548187255859375 × 2 - 1) × π
    0.09637451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.30276946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728485107421875 × 2 - 1) × π
    -0.45697021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.43561426982144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30276946} λ = 0.30276946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43561426982144))-π/2
    2×atan(0.237969141847081)-π/2
    2×0.233623846050921-π/2
    0.467247692101842-1.57079632675     		φ = -1.10354863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30276946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.347412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10354863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.228679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35926 KachelY 47742 0.30276946 -1.10354863 17.347412 -63.228679
    Oben rechts KachelX + 1 35927 KachelY 47742 0.30286533 -1.10354863 17.352905 -63.228679
    Unten links KachelX 35926 KachelY + 1 47743 0.30276946 -1.10359182 17.347412 -63.231154
    Unten rechts KachelX + 1 35927 KachelY + 1 47743 0.30286533 -1.10359182 17.352905 -63.231154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10354863--1.10359182) × R
    4.31899999999708e-05 × 6371000     		dl = 275.163489999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10354863--1.10359182) × R
    4.31899999999708e-05 × 6371000     		dr = 275.163489999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30276946-0.30286533) × cos(-1.10354863) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.450430706875093 × 6371000     		do = 275.117566991756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30276946-0.30286533) × cos(-1.10359182) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.450392145931055 × 6371000     		du = 275.094014438738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10354863)-sin(-1.10359182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450430706875093-0.450392145931055)×R²
    abs(0.30286533-0.30276946)×3.85609440379797e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.85609440379797e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.85609440379797e-05×40589641000000     		ar = 75699.0695041419m²