Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35924 / 104425
↖ ↑ ↗
← S 72.376590°
W 81.331787°		 ← 92.47 m → S 72.376590°
W 81.329040°		 →
↑
92.44 m
↓
↑
92.44 m
↓
S 72.377422°
W 81.331787°		 ← 92.47 m →
8 548 m²		 S 72.377422°
W 81.329040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274082183837891 y=0.796703338623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274082183837891 × 217)
    floor (0.274082183837891 × 131072)
    floor (35924.5)     		tx = 35924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796703338623047 × 217)
    floor (0.796703338623047 × 131072)
    floor (104425.5)     		ty = 104425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35924 / 104425 ti = "17/35924/104425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35924/104425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35924 ÷ 217
    35924 ÷ 131072     		x = 0.274078369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104425 ÷ 217
    104425 ÷ 131072     		y = 0.796699523925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274078369140625 × 2 - 1) × π
    -0.45184326171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41950747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796699523925781 × 2 - 1) × π
    -0.593399047851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.86421808932436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41950747} λ = -1.41950747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86421808932436))-π/2
    2×atan(0.155017372247931)-π/2
    2×0.153793264746591-π/2
    0.307586529493182-1.57079632675     		φ = -1.26320980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41950747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.331787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26320980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.376590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35924 KachelY 104425 -1.41950747 -1.26320980 -81.331787 -72.376590
    Oben rechts KachelX + 1 35925 KachelY 104425 -1.41945953 -1.26320980 -81.329040 -72.376590
    Unten links KachelX 35924 KachelY + 1 104426 -1.41950747 -1.26322431 -81.331787 -72.377422
    Unten rechts KachelX + 1 35925 KachelY + 1 104426 -1.41945953 -1.26322431 -81.329040 -72.377422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26320980--1.26322431) × R
    1.45099999999676e-05 × 6371000     		dl = 92.4432099997936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26320980--1.26322431) × R
    1.45099999999676e-05 × 6371000     		dr = 92.4432099997936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41950747--1.41945953) × cos(-1.26320980) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.302759318661129 × 6371000     		do = 92.4704889443387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41950747--1.41945953) × cos(-1.26322431) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.302745489626414 × 6371000     		du = 92.4662652011775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26320980)-sin(-1.26322431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302759318661129-0.302745489626414)×R²
    abs(-1.41945953--1.41950747)×1.38290347144743e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.38290347144743e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.38290347144743e-05×40589641000000     		ar = 8548.07360022046m²