Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35922 / 104428
↖ ↑ ↗
← S 72.379084°
W 81.337281°		 ← 92.46 m → S 72.379084°
W 81.334534°		 →
↑
92.51 m
↓
↑
92.51 m
↓
S 72.379916°
W 81.337281°		 ← 92.45 m →
8 553 m²		 S 72.379916°
W 81.334534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274066925048828 y=0.796726226806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274066925048828 × 217)
    floor (0.274066925048828 × 131072)
    floor (35922.5)     		tx = 35922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796726226806641 × 217)
    floor (0.796726226806641 × 131072)
    floor (104428.5)     		ty = 104428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35922 / 104428 ti = "17/35922/104428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35922/104428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35922 ÷ 217
    35922 ÷ 131072     		x = 0.274063110351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104428 ÷ 217
    104428 ÷ 131072     		y = 0.796722412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274063110351562 × 2 - 1) × π
    -0.451873779296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41960335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796722412109375 × 2 - 1) × π
    -0.59344482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.86436190002322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41960335} λ = -1.41960335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86436190002322))-π/2
    2×atan(0.154995080694213)-π/2
    2×0.153771496223656-π/2
    0.307542992447312-1.57079632675     		φ = -1.26325333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41960335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.337281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26325333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.379084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35922 KachelY 104428 -1.41960335 -1.26325333 -81.337281 -72.379084
    Oben rechts KachelX + 1 35923 KachelY 104428 -1.41955541 -1.26325333 -81.334534 -72.379084
    Unten links KachelX 35922 KachelY + 1 104429 -1.41960335 -1.26326785 -81.337281 -72.379916
    Unten rechts KachelX + 1 35923 KachelY + 1 104429 -1.41955541 -1.26326785 -81.334534 -72.379916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26325333--1.26326785) × R
    1.45200000001289e-05 × 6371000     		dl = 92.5069200008211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26325333--1.26326785) × R
    1.45200000001289e-05 × 6371000     		dr = 92.5069200008211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41960335--1.41955541) × cos(-1.26325333) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.302717831365768 × 6371000     		do = 92.4578176560243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41960335--1.41955541) × cos(-1.26326785) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.302703992608996 × 6371000     		du = 92.4535909434964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26325333)-sin(-1.26326785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302717831365768-0.302703992608996)×R²
    abs(-1.41955541--1.41960335)×1.38387567722997e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38387567722997e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38387567722997e-05×40589641000000     		ar = 8552.79244154499m²