Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35921 / 104429
↖ ↑ ↗
← S 72.379916°
W 81.340027°		 ← 92.43 m → S 72.379916°
W 81.337281°		 →
↑
92.44 m
↓
↑
92.44 m
↓
S 72.380748°
W 81.340027°		 ← 92.43 m →
8 545 m²		 S 72.380748°
W 81.337281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274059295654297 y=0.796733856201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274059295654297 × 217)
    floor (0.274059295654297 × 131072)
    floor (35921.5)     		tx = 35921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796733856201172 × 217)
    floor (0.796733856201172 × 131072)
    floor (104429.5)     		ty = 104429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35921 / 104429 ti = "17/35921/104429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35921/104429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35921 ÷ 217
    35921 ÷ 131072     		x = 0.274055480957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104429 ÷ 217
    104429 ÷ 131072     		y = 0.796730041503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274055480957031 × 2 - 1) × π
    -0.451889038085938 × 3.1415926535     		Λ = -1.41965128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796730041503906 × 2 - 1) × π
    -0.593460083007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.86440983692284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41965128} λ = -1.41965128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86440983692284))-π/2
    2×atan(0.154987650888671)-π/2
    2×0.153764240712353-π/2
    0.307528481424706-1.57079632675     		φ = -1.26326785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41965128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.340027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26326785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.379916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35921 KachelY 104429 -1.41965128 -1.26326785 -81.340027 -72.379916
    Oben rechts KachelX + 1 35922 KachelY 104429 -1.41960335 -1.26326785 -81.337281 -72.379916
    Unten links KachelX 35921 KachelY + 1 104430 -1.41965128 -1.26328236 -81.340027 -72.380748
    Unten rechts KachelX + 1 35922 KachelY + 1 104430 -1.41960335 -1.26328236 -81.337281 -72.380748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26326785--1.26328236) × R
    1.45099999999676e-05 × 6371000     		dl = 92.4432099997936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26326785--1.26328236) × R
    1.45099999999676e-05 × 6371000     		dr = 92.4432099997936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41965128--1.41960335) × cos(-1.26326785) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.302703992608996 × 6371000     		do = 92.4343056722445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41965128--1.41960335) × cos(-1.26328236) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.302690163319295 × 6371000     		du = 92.4300827322679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26326785)-sin(-1.26328236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302703992608996-0.302690163319295)×R²
    abs(-1.41960335--1.41965128)×1.38292897011727e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.38292897011727e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.38292897011727e-05×40589641000000     		ar = 8544.72873935915m²