Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35920 / 47825
↖ ↑ ↗
← S 63.433317°
E 17.314453°		 ← 273.17 m → S 63.433317°
E 17.319946°		 →
↑
273.19 m
↓
↑
273.19 m
↓
S 63.435774°
E 17.314453°		 ← 273.14 m →
74 623 m²		 S 63.435774°
E 17.319946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548103332519531 y=0.729759216308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548103332519531 × 216)
    floor (0.548103332519531 × 65536)
    floor (35920.5)     		tx = 35920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729759216308594 × 216)
    floor (0.729759216308594 × 65536)
    floor (47825.5)     		ty = 47825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35920 / 47825 ti = "16/35920/47825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35920/47825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35920 ÷ 216
    35920 ÷ 65536     		x = 0.548095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47825 ÷ 216
    47825 ÷ 65536     		y = 0.729751586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548095703125 × 2 - 1) × π
    0.09619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30219422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729751586914062 × 2 - 1) × π
    -0.459503173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44357179515837
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30219422} λ = 0.30219422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44357179515837))-π/2
    2×atan(0.236083010792077)-π/2
    2×0.231838044191374-π/2
    0.463676088382749-1.57079632675     		φ = -1.10712024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30219422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.314453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10712024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.433317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35920 KachelY 47825 0.30219422 -1.10712024 17.314453 -63.433317
    Oben rechts KachelX + 1 35921 KachelY 47825 0.30229009 -1.10712024 17.319946 -63.433317
    Unten links KachelX 35920 KachelY + 1 47826 0.30219422 -1.10716312 17.314453 -63.435774
    Unten rechts KachelX + 1 35921 KachelY + 1 47826 0.30229009 -1.10716312 17.319946 -63.435774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10712024--1.10716312) × R
    4.28800000000784e-05 × 6371000     		dl = 273.1884800005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10712024--1.10716312) × R
    4.28800000000784e-05 × 6371000     		dr = 273.1884800005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30219422-0.30229009) × cos(-1.10712024) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.447239066631987 × 6371000     		do = 273.168152165027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30219422-0.30229009) × cos(-1.10716312) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.447200713729001 × 6371000     		du = 273.144726680939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10712024)-sin(-1.10716312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447239066631987-0.447200713729001)×R²
    abs(0.30229009-0.30219422)×3.8352902985872e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8352902985872e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8352902985872e-05×40589641000000     		ar = 74623.1924999294m²