Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35920 / 104440
↖ ↑ ↗
← S 72.389059°
W 81.342773°		 ← 92.41 m → S 72.389059°
W 81.340027°		 →
↑
92.44 m
↓
↑
92.44 m
↓
S 72.389890°
W 81.342773°		 ← 92.40 m →
8 542 m²		 S 72.389890°
W 81.340027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274051666259766 y=0.796817779541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274051666259766 × 217)
    floor (0.274051666259766 × 131072)
    floor (35920.5)     		tx = 35920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796817779541016 × 217)
    floor (0.796817779541016 × 131072)
    floor (104440.5)     		ty = 104440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35920 / 104440 ti = "17/35920/104440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35920/104440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35920 ÷ 217
    35920 ÷ 131072     		x = 0.2740478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104440 ÷ 217
    104440 ÷ 131072     		y = 0.79681396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2740478515625 × 2 - 1) × π
    -0.451904296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41969922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79681396484375 × 2 - 1) × π
    -0.5936279296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.86493714281866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41969922} λ = -1.41969922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86493714281866))-π/2
    2×atan(0.154905946530066)-π/2
    2×0.153684451962814-π/2
    0.307368903925628-1.57079632675     		φ = -1.26342742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41969922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.342773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26342742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.389059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35920 KachelY 104440 -1.41969922 -1.26342742 -81.342773 -72.389059
    Oben rechts KachelX + 1 35921 KachelY 104440 -1.41965128 -1.26342742 -81.340027 -72.389059
    Unten links KachelX 35920 KachelY + 1 104441 -1.41969922 -1.26344193 -81.342773 -72.389890
    Unten rechts KachelX + 1 35921 KachelY + 1 104441 -1.41965128 -1.26344193 -81.340027 -72.389890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26342742--1.26344193) × R
    1.45099999999676e-05 × 6371000     		dl = 92.4432099997936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26342742--1.26344193) × R
    1.45099999999676e-05 × 6371000     		dr = 92.4432099997936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41969922--1.41965128) × cos(-1.26342742) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.302551905043017 × 6371000     		do = 92.4071394861125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41969922--1.41965128) × cos(-1.26344193) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.302538075052639 × 6371000     		du = 92.4029154510671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26342742)-sin(-1.26344193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302551905043017-0.302538075052639)×R²
    abs(-1.41965128--1.41969922)×1.38299903780226e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38299903780226e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38299903780226e-05×40589641000000     		ar = 8542.21735935344m²