Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35920 / 104423
↖ ↑ ↗
← S 72.374927°
W 81.342773°		 ← 92.48 m → S 72.374927°
W 81.340027°		 →
↑
92.44 m
↓
↑
92.44 m
↓
S 72.375758°
W 81.342773°		 ← 92.47 m →
8 549 m²		 S 72.375758°
W 81.340027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274051666259766 y=0.796688079833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274051666259766 × 217)
    floor (0.274051666259766 × 131072)
    floor (35920.5)     		tx = 35920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796688079833984 × 217)
    floor (0.796688079833984 × 131072)
    floor (104423.5)     		ty = 104423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35920 / 104423 ti = "17/35920/104423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35920/104423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35920 ÷ 217
    35920 ÷ 131072     		x = 0.2740478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104423 ÷ 217
    104423 ÷ 131072     		y = 0.796684265136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2740478515625 × 2 - 1) × π
    -0.451904296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41969922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796684265136719 × 2 - 1) × π
    -0.593368530273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.86412221552512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41969922} λ = -1.41969922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86412221552512))-π/2
    2×atan(0.155032235064823)-π/2
    2×0.153807778752873-π/2
    0.307615557505745-1.57079632675     		φ = -1.26318077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41969922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.342773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26318077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.374927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35920 KachelY 104423 -1.41969922 -1.26318077 -81.342773 -72.374927
    Oben rechts KachelX + 1 35921 KachelY 104423 -1.41965128 -1.26318077 -81.340027 -72.374927
    Unten links KachelX 35920 KachelY + 1 104424 -1.41969922 -1.26319528 -81.342773 -72.375758
    Unten rechts KachelX + 1 35921 KachelY + 1 104424 -1.41965128 -1.26319528 -81.340027 -72.375758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26318077--1.26319528) × R
    1.45099999999676e-05 × 6371000     		dl = 92.4432099997936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26318077--1.26319528) × R
    1.45099999999676e-05 × 6371000     		dr = 92.4432099997936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41969922--1.41965128) × cos(-1.26318077) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.302786986069909 × 6371000     		do = 92.4789392827109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41969922--1.41965128) × cos(-1.26319528) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.302773157162727 × 6371000     		du = 92.4747155785015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26318077)-sin(-1.26319528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302786986069909-0.302773157162727)×R²
    abs(-1.41965128--1.41969922)×1.38289071816566e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38289071816566e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38289071816566e-05×40589641000000     		ar = 8548.85477855157m²