Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3592 / 2648
↖ ↑ ↗
← N 53.540308°
W 22.148438°		 ← 2 903.83 m → N 53.540308°
W 22.104492°		 →
↑
2 904.73 m
↓
↑
2 904.73 m
↓
N 53.514185°
W 22.148438°		 ← 2 905.63 m →
8 437 454 m²		 N 53.514185°
W 22.104492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43853759765625 y=0.32330322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43853759765625 × 213)
    floor (0.43853759765625 × 8192)
    floor (3592.5)     		tx = 3592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32330322265625 × 213)
    floor (0.32330322265625 × 8192)
    floor (2648.5)     		ty = 2648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3592 / 2648 ti = "13/3592/2648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3592/2648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3592 ÷ 213
    3592 ÷ 8192     		x = 0.4384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2648 ÷ 213
    2648 ÷ 8192     		y = 0.3232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4384765625 × 2 - 1) × π
    -0.123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38656316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3232421875 × 2 - 1) × π
    0.353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11060209039746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38656316} λ = -0.38656316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11060209039746))-π/2
    2×atan(3.03618590259477)-π/2
    2×1.25262548664378-π/2
    2.50525097328757-1.57079632675     		φ = 0.93445465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38656316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.148438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93445465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.540308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3592 KachelY 2648 -0.38656316 0.93445465 -22.148438 53.540308
    Oben rechts KachelX + 1 3593 KachelY 2648 -0.38579617 0.93445465 -22.104492 53.540308
    Unten links KachelX 3592 KachelY + 1 2649 -0.38656316 0.93399872 -22.148438 53.514185
    Unten rechts KachelX + 1 3593 KachelY + 1 2649 -0.38579617 0.93399872 -22.104492 53.514185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93445465-0.93399872) × R
    0.000455930000000104 × 6371000     		dl = 2904.73003000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93445465-0.93399872) × R
    0.000455930000000104 × 6371000     		dr = 2904.73003000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38656316--0.38579617) × cos(0.93445465) × R
    0.000766990000000023 × 0.594257126156798 × 6371000     		do = 2903.83345949997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38656316--0.38579617) × cos(0.93399872) × R
    0.000766990000000023 × 0.594623757534618 × 6371000     		du = 2905.62500126759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93445465)-sin(0.93399872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594257126156798-0.594623757534618)×R²
    abs(-0.38579617--0.38656316)×0.000366631377819671×R²
    0.000766990000000023×0.000366631377819671×6371000²
    0.000766990000000023×0.000366631377819671×40589641000000     		ar = 8437454.37067371m²