Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3592 / 2647
↖ ↑ ↗
← N 53.566414°
W 22.148438°		 ← 2 902.04 m → N 53.566414°
W 22.104492°		 →
↑
2 902.95 m
↓
↑
2 902.95 m
↓
N 53.540308°
W 22.148438°		 ← 2 903.83 m →
8 427 073 m²		 N 53.540308°
W 22.104492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43853759765625 y=0.32318115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43853759765625 × 213)
    floor (0.43853759765625 × 8192)
    floor (3592.5)     		tx = 3592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32318115234375 × 213)
    floor (0.32318115234375 × 8192)
    floor (2647.5)     		ty = 2647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3592 / 2647 ti = "13/3592/2647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3592/2647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3592 ÷ 213
    3592 ÷ 8192     		x = 0.4384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2647 ÷ 213
    2647 ÷ 8192     		y = 0.3231201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4384765625 × 2 - 1) × π
    -0.123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38656316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3231201171875 × 2 - 1) × π
    0.353759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11136908079138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38656316} λ = -0.38656316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11136908079138))-π/2
    2×atan(3.0385155212996)-π/2
    2×1.25285331111421-π/2
    2.50570662222842-1.57079632675     		φ = 0.93491030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38656316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.148438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93491030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.566414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3592 KachelY 2647 -0.38656316 0.93491030 -22.148438 53.566414
    Oben rechts KachelX + 1 3593 KachelY 2647 -0.38579617 0.93491030 -22.104492 53.566414
    Unten links KachelX 3592 KachelY + 1 2648 -0.38656316 0.93445465 -22.148438 53.540308
    Unten rechts KachelX + 1 3593 KachelY + 1 2648 -0.38579617 0.93445465 -22.104492 53.540308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93491030-0.93445465) × R
    0.000455649999999919 × 6371000     		dl = 2902.94614999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93491030-0.93445465) × R
    0.000455649999999919 × 6371000     		dr = 2902.94614999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38656316--0.38579617) × cos(0.93491030) × R
    0.000766990000000023 × 0.593890596522316 × 6371000     		do = 2902.04241490048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38656316--0.38579617) × cos(0.93445465) × R
    0.000766990000000023 × 0.594257126156798 × 6371000     		du = 2903.83345949997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93491030)-sin(0.93445465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593890596522316-0.594257126156798)×R²
    abs(-0.38579617--0.38656316)×0.000366529634482804×R²
    0.000766990000000023×0.000366529634482804×6371000²
    0.000766990000000023×0.000366529634482804×40589641000000     		ar = 8427072.65428349m²