Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35919 / 47736
↖ ↑ ↗
← S 63.213830°
E 17.308960°		 ← 275.29 m → S 63.213830°
E 17.314453°		 →
↑
275.29 m
↓
↑
275.29 m
↓
S 63.216305°
E 17.308960°		 ← 275.26 m →
75 781 m²		 S 63.216305°
E 17.314453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548088073730469 y=0.728401184082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548088073730469 × 216)
    floor (0.548088073730469 × 65536)
    floor (35919.5)     		tx = 35919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728401184082031 × 216)
    floor (0.728401184082031 × 65536)
    floor (47736.5)     		ty = 47736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35919 / 47736 ti = "16/35919/47736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35919/47736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35919 ÷ 216
    35919 ÷ 65536     		x = 0.548080444335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47736 ÷ 216
    47736 ÷ 65536     		y = 0.7283935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548080444335938 × 2 - 1) × π
    0.096160888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.30209834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7283935546875 × 2 - 1) × π
    -0.456787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.435039027026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30209834} λ = 0.30209834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.435039027026))-π/2
    2×atan(0.23810607126152)-π/2
    2×0.23375343283171-π/2
    0.467506865663419-1.57079632675     		φ = -1.10328946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30209834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.308960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10328946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.213830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35919 KachelY 47736 0.30209834 -1.10328946 17.308960 -63.213830
    Oben rechts KachelX + 1 35920 KachelY 47736 0.30219422 -1.10328946 17.314453 -63.213830
    Unten links KachelX 35919 KachelY + 1 47737 0.30209834 -1.10333267 17.308960 -63.216305
    Unten rechts KachelX + 1 35920 KachelY + 1 47737 0.30219422 -1.10333267 17.314453 -63.216305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10328946--1.10333267) × R
    4.32099999998492e-05 × 6371000     		dl = 275.290909999039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10328946--1.10333267) × R
    4.32099999998492e-05 × 6371000     		dr = 275.290909999039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30209834-0.30219422) × cos(-1.10328946) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.450662081672966 × 6371000     		do = 275.287599569791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30209834-0.30219422) × cos(-1.10333267) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.450623507917646 × 6371000     		du = 275.264036734264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10328946)-sin(-1.10333267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450662081672966-0.450623507917646)×R²
    abs(0.30219422-0.30209834)×3.85737553208476e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.85737553208476e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.85737553208476e-05×40589641000000     		ar = 75780.9304916317m²