Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35919 / 104427
↖ ↑ ↗
← S 72.378253°
W 81.345520°		 ← 92.46 m → S 72.378253°
W 81.342773°		 →
↑
92.44 m
↓
↑
92.44 m
↓
S 72.379084°
W 81.345520°		 ← 92.46 m →
8 547 m²		 S 72.379084°
W 81.342773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274044036865234 y=0.796718597412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274044036865234 × 217)
    floor (0.274044036865234 × 131072)
    floor (35919.5)     		tx = 35919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796718597412109 × 217)
    floor (0.796718597412109 × 131072)
    floor (104427.5)     		ty = 104427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35919 / 104427 ti = "17/35919/104427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35919/104427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35919 ÷ 217
    35919 ÷ 131072     		x = 0.274040222167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104427 ÷ 217
    104427 ÷ 131072     		y = 0.796714782714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274040222167969 × 2 - 1) × π
    -0.451919555664062 × 3.1415926535     		Λ = -1.41974716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796714782714844 × 2 - 1) × π
    -0.593429565429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.8643139631236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41974716} λ = -1.41974716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8643139631236))-π/2
    2×atan(0.155002510855926)-π/2
    2×0.153778752066454-π/2
    0.307557504132909-1.57079632675     		φ = -1.26323882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41974716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.345520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26323882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.378253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35919 KachelY 104427 -1.41974716 -1.26323882 -81.345520 -72.378253
    Oben rechts KachelX + 1 35920 KachelY 104427 -1.41969922 -1.26323882 -81.342773 -72.378253
    Unten links KachelX 35919 KachelY + 1 104428 -1.41974716 -1.26325333 -81.345520 -72.379084
    Unten rechts KachelX + 1 35920 KachelY + 1 104428 -1.41969922 -1.26325333 -81.342773 -72.379084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26323882--1.26325333) × R
    1.45099999999676e-05 × 6371000     		dl = 92.4432099997936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26323882--1.26325333) × R
    1.45099999999676e-05 × 6371000     		dr = 92.4432099997936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41974716--1.41969922) × cos(-1.26323882) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.30273166052796 × 6371000     		do = 92.4620414381202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41974716--1.41969922) × cos(-1.26325333) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.302717831365768 × 6371000     		du = 92.4578176560243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26323882)-sin(-1.26325333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30273166052796-0.302717831365768)×R²
    abs(-1.41969922--1.41974716)×1.38291621916697e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38291621916697e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38291621916697e-05×40589641000000     		ar = 8547.29268386022m²