Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35918 / 104441
↖ ↑ ↗
← S 72.389890°
W 81.348266°		 ← 92.38 m → S 72.389890°
W 81.345520°		 →
↑
92.38 m
↓
↑
92.38 m
↓
S 72.390721°
W 81.348266°		 ← 92.38 m →
8 534 m²		 S 72.390721°
W 81.345520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274036407470703 y=0.796825408935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274036407470703 × 217)
    floor (0.274036407470703 × 131072)
    floor (35918.5)     		tx = 35918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796825408935547 × 217)
    floor (0.796825408935547 × 131072)
    floor (104441.5)     		ty = 104441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35918 / 104441 ti = "17/35918/104441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35918/104441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35918 ÷ 217
    35918 ÷ 131072     		x = 0.274032592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104441 ÷ 217
    104441 ÷ 131072     		y = 0.796821594238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274032592773438 × 2 - 1) × π
    -0.451934814453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41979509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796821594238281 × 2 - 1) × π
    -0.593643188476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.86498507971828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41979509} λ = -1.41979509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86498507971828))-π/2
    2×atan(0.154898520997236)-π/2
    2×0.153677200428392-π/2
    0.307354400856785-1.57079632675     		φ = -1.26344193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41979509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.348266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26344193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.389890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35918 KachelY 104441 -1.41979509 -1.26344193 -81.348266 -72.389890
    Oben rechts KachelX + 1 35919 KachelY 104441 -1.41974716 -1.26344193 -81.345520 -72.389890
    Unten links KachelX 35918 KachelY + 1 104442 -1.41979509 -1.26345643 -81.348266 -72.390721
    Unten rechts KachelX + 1 35919 KachelY + 1 104442 -1.41974716 -1.26345643 -81.345520 -72.390721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26344193--1.26345643) × R
    1.45000000000284e-05 × 6371000     		dl = 92.3795000001808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26344193--1.26345643) × R
    1.45000000000284e-05 × 6371000     		dr = 92.3795000001808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41979509--1.41974716) × cos(-1.26344193) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.302538075052639 × 6371000     		do = 92.3836407504226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41979509--1.41974716) × cos(-1.26345643) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.302524254529981 × 6371000     		du = 92.3794204875682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26344193)-sin(-1.26345643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302538075052639-0.302524254529981)×R²
    abs(-1.41974716--1.41979509)×1.38205226576371e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.38205226576371e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.38205226576371e-05×40589641000000     		ar = 8534.15960811101m²