Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35917 / 104443
↖ ↑ ↗
← S 72.391552°
W 81.351013°		 ← 92.39 m → S 72.391552°
W 81.348266°		 →
↑
92.38 m
↓
↑
92.38 m
↓
S 72.392383°
W 81.351013°		 ← 92.39 m →
8 535 m²		 S 72.392383°
W 81.348266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274028778076172 y=0.796840667724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274028778076172 × 217)
    floor (0.274028778076172 × 131072)
    floor (35917.5)     		tx = 35917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796840667724609 × 217)
    floor (0.796840667724609 × 131072)
    floor (104443.5)     		ty = 104443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35917 / 104443 ti = "17/35917/104443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35917/104443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35917 ÷ 217
    35917 ÷ 131072     		x = 0.274024963378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104443 ÷ 217
    104443 ÷ 131072     		y = 0.796836853027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274024963378906 × 2 - 1) × π
    -0.451950073242188 × 3.1415926535     		Λ = -1.41984303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796836853027344 × 2 - 1) × π
    -0.593673706054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.86508095351752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41984303} λ = -1.41984303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86508095351752))-π/2
    2×atan(0.154883670999406)-π/2
    2×0.15366269835349-π/2
    0.30732539670698-1.57079632675     		φ = -1.26347093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41984303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.351013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26347093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.391552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35917 KachelY 104443 -1.41984303 -1.26347093 -81.351013 -72.391552
    Oben rechts KachelX + 1 35918 KachelY 104443 -1.41979509 -1.26347093 -81.348266 -72.391552
    Unten links KachelX 35917 KachelY + 1 104444 -1.41984303 -1.26348543 -81.351013 -72.392383
    Unten rechts KachelX + 1 35918 KachelY + 1 104444 -1.41979509 -1.26348543 -81.348266 -72.392383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26347093--1.26348543) × R
    1.45000000000284e-05 × 6371000     		dl = 92.3795000001808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26347093--1.26348543) × R
    1.45000000000284e-05 × 6371000     		dr = 92.3795000001808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41984303--1.41979509) × cos(-1.26347093) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.302510433943718 × 6371000     		do = 92.3944731449205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41984303--1.41979509) × cos(-1.26348543) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.302496613293852 × 6371000     		du = 92.3902519627079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26347093)-sin(-1.26348543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302510433943718-0.302496613293852)×R²
    abs(-1.41979509--1.41984303)×1.38206498661586e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38206498661586e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38206498661586e-05×40589641000000     		ar = 8535.16025671576m²