Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35916 / 47930
↖ ↑ ↗
← S 63.690118°
E 17.292480°		 ← 270.72 m → S 63.690118°
E 17.297973°		 →
↑
270.70 m
↓
↑
270.70 m
↓
S 63.692552°
E 17.292480°		 ← 270.69 m →
73 281 m²		 S 63.692552°
E 17.297973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548042297363281 y=0.731361389160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548042297363281 × 216)
    floor (0.548042297363281 × 65536)
    floor (35916.5)     		tx = 35916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731361389160156 × 216)
    floor (0.731361389160156 × 65536)
    floor (47930.5)     		ty = 47930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35916 / 47930 ti = "16/35916/47930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35916/47930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35916 ÷ 216
    35916 ÷ 65536     		x = 0.54803466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47930 ÷ 216
    47930 ÷ 65536     		y = 0.731353759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54803466796875 × 2 - 1) × π
    0.0960693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30181072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731353759765625 × 2 - 1) × π
    -0.46270751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.45363854407858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30181072} λ = 0.30181072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45363854407858))-π/2
    2×atan(0.233718344617894)-π/2
    2×0.229597034037213-π/2
    0.459194068074426-1.57079632675     		φ = -1.11160226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30181072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.292480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11160226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.690118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35916 KachelY 47930 0.30181072 -1.11160226 17.292480 -63.690118
    Oben rechts KachelX + 1 35917 KachelY 47930 0.30190659 -1.11160226 17.297973 -63.690118
    Unten links KachelX 35916 KachelY + 1 47931 0.30181072 -1.11164475 17.292480 -63.692552
    Unten rechts KachelX + 1 35917 KachelY + 1 47931 0.30190659 -1.11164475 17.297973 -63.692552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11160226--1.11164475) × R
    4.24900000000061e-05 × 6371000     		dl = 270.703790000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11160226--1.11164475) × R
    4.24900000000061e-05 × 6371000     		dr = 270.703790000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30181072-0.30190659) × cos(-1.11160226) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.443225804403997 × 6371000     		do = 270.716900678367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30181072-0.30190659) × cos(-1.11164475) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.44318771554305 × 6371000     		du = 270.693636467928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11160226)-sin(-1.11164475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443225804403997-0.44318771554305)×R²
    abs(0.30190659-0.30181072)×3.80888609461394e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.80888609461394e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.80888609461394e-05×40589641000000     		ar = 73280.9421867224m²