Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35910 / 47881
↖ ↑ ↗
← S 63.570566°
E 17.259522°		 ← 271.86 m → S 63.570566°
E 17.265015°		 →
↑
271.85 m
↓
↑
271.85 m
↓
S 63.573011°
E 17.259522°		 ← 271.84 m →
73 902 m²		 S 63.573011°
E 17.265015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547950744628906 y=0.730613708496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547950744628906 × 216)
    floor (0.547950744628906 × 65536)
    floor (35910.5)     		tx = 35910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730613708496094 × 216)
    floor (0.730613708496094 × 65536)
    floor (47881.5)     		ty = 47881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35910 / 47881 ti = "16/35910/47881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35910/47881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35910 ÷ 216
    35910 ÷ 65536     		x = 0.547943115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47881 ÷ 216
    47881 ÷ 65536     		y = 0.730606079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547943115234375 × 2 - 1) × π
    0.09588623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.30123548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730606079101562 × 2 - 1) × π
    -0.461212158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44894072791582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30123548} λ = 0.30123548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44894072791582))-π/2
    2×atan(0.234818893498891)-π/2
    2×0.230640325155084-π/2
    0.461280650310168-1.57079632675     		φ = -1.10951568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30123548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.259522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10951568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.570566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35910 KachelY 47881 0.30123548 -1.10951568 17.259522 -63.570566
    Oben rechts KachelX + 1 35911 KachelY 47881 0.30133135 -1.10951568 17.265015 -63.570566
    Unten links KachelX 35910 KachelY + 1 47882 0.30123548 -1.10955835 17.259522 -63.573011
    Unten rechts KachelX + 1 35911 KachelY + 1 47882 0.30133135 -1.10955835 17.265015 -63.573011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10951568--1.10955835) × R
    4.26700000000224e-05 × 6371000     		dl = 271.850570000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10951568--1.10955835) × R
    4.26700000000224e-05 × 6371000     		dr = 271.850570000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30123548-0.30133135) × cos(-1.10951568) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.445095269360991 × 6371000     		do = 271.858747010543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30123548-0.30133135) × cos(-1.10955835) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.445057058686714 × 6371000     		du = 271.835408398011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10951568)-sin(-1.10955835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445095269360991-0.445057058686714)×R²
    abs(0.30133135-0.30123548)×3.82106742774502e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.82106742774502e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.82106742774502e-05×40589641000000     		ar = 73901.7830379815m²