Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3591 / 5453
↖ ↑ ↗
← S 51.096623°
W 22.192383°		 ← 3 068.76 m → S 51.096623°
W 22.148438°		 →
↑
3 067.83 m
↓
↑
3 067.83 m
↓
S 51.124213°
W 22.192383°		 ← 3 066.93 m →
9 411 622 m²		 S 51.124213°
W 22.148438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43841552734375 y=0.66571044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43841552734375 × 213)
    floor (0.43841552734375 × 8192)
    floor (3591.5)     		tx = 3591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66571044921875 × 213)
    floor (0.66571044921875 × 8192)
    floor (5453.5)     		ty = 5453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3591 / 5453 ti = "13/3591/5453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3591/5453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3591 ÷ 213
    3591 ÷ 8192     		x = 0.4383544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5453 ÷ 213
    5453 ÷ 8192     		y = 0.6656494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.123291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38733015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6656494140625 × 2 - 1) × π
    -0.331298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04080596455066
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38733015} λ = -0.38733015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04080596455066))-π/2
    2×atan(0.353169924782366)-π/2
    2×0.339496009886362-π/2
    0.678992019772725-1.57079632675     		φ = -0.89180431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38733015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.192383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89180431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.096623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3591 KachelY 5453 -0.38733015 -0.89180431 -22.192383 -51.096623
    Oben rechts KachelX + 1 3592 KachelY 5453 -0.38656316 -0.89180431 -22.148438 -51.096623
    Unten links KachelX 3591 KachelY + 1 5454 -0.38733015 -0.89228584 -22.192383 -51.124213
    Unten rechts KachelX + 1 3592 KachelY + 1 5454 -0.38656316 -0.89228584 -22.148438 -51.124213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89180431--0.89228584) × R
    0.000481529999999952 × 6371000     		dl = 3067.8276299997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89180431--0.89228584) × R
    0.000481529999999952 × 6371000     		dr = 3067.8276299997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38733015--0.38656316) × cos(-0.89180431) × R
    0.000766989999999967 × 0.628008924473639 × 6371000     		do = 3068.76139550043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38733015--0.38656316) × cos(-0.89228584) × R
    0.000766989999999967 × 0.627634122078673 × 6371000     		du = 3066.92992611235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89180431)-sin(-0.89228584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628008924473639-0.627634122078673)×R²
    abs(-0.38656316--0.38733015)×0.000374802394966456×R²
    0.000766989999999967×0.000374802394966456×6371000²
    0.000766989999999967×0.000374802394966456×40589641000000     		ar = 9411621.86465239m²