Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35909 / 104439
↖ ↑ ↗
← S 72.388228°
W 81.372986°		 ← 92.41 m → S 72.388228°
W 81.370239°		 →
↑
92.38 m
↓
↑
92.38 m
↓
S 72.389059°
W 81.372986°		 ← 92.41 m →
8 537 m²		 S 72.389059°
W 81.370239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 104439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.273967742919922 y=0.796810150146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.273967742919922 × 217)
    floor (0.273967742919922 × 131072)
    floor (35909.5)     		tx = 35909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796810150146484 × 217)
    floor (0.796810150146484 × 131072)
    floor (104439.5)     		ty = 104439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35909 / 104439 ti = "17/35909/104439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35909/104439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35909 ÷ 217
    35909 ÷ 131072     		x = 0.273963928222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 104439 ÷ 217
    104439 ÷ 131072     		y = 0.796806335449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.273963928222656 × 2 - 1) × π
    -0.452072143554688 × 3.1415926535     		Λ = -1.42022653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796806335449219 × 2 - 1) × π
    -0.593612670898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.86488920591904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42022653} λ = -1.42022653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86488920591904))-π/2
    2×atan(0.154913372418861)-π/2
    2×0.153691703828568-π/2
    0.307383407657135-1.57079632675     		φ = -1.26341292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42022653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.372986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26341292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.388228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35909 KachelY 104439 -1.42022653 -1.26341292 -81.372986 -72.388228
    Oben rechts KachelX + 1 35910 KachelY 104439 -1.42017859 -1.26341292 -81.370239 -72.388228
    Unten links KachelX 35909 KachelY + 1 104440 -1.42022653 -1.26342742 -81.372986 -72.389059
    Unten rechts KachelX + 1 35910 KachelY + 1 104440 -1.42017859 -1.26342742 -81.370239 -72.389059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26341292--1.26342742) × R
    1.45000000000284e-05 × 6371000     		dl = 92.3795000001808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26341292--1.26342742) × R
    1.45000000000284e-05 × 6371000     		dr = 92.3795000001808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42022653--1.42017859) × cos(-1.26341292) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.30256572543841 × 6371000     		do = 92.4113605910307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42022653--1.42017859) × cos(-1.26342742) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.302551905043017 × 6371000     		du = 92.4071394865405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26341292)-sin(-1.26342742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30256572543841-0.302551905043017)×R²
    abs(-1.42017859--1.42022653)×1.3820395393549e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.3820395393549e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.3820395393549e-05×40589641000000     		ar = 8536.72031423963m²