Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3590 / 5455
↖ ↑ ↗
← S 51.151786°
W 22.236328°		 ← 3 065.10 m → S 51.151786°
W 22.192383°		 →
↑
3 064.13 m
↓
↑
3 064.13 m
↓
S 51.179343°
W 22.236328°		 ← 3 063.27 m →
9 389 064 m²		 S 51.179343°
W 22.192383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43829345703125 y=0.66595458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43829345703125 × 213)
    floor (0.43829345703125 × 8192)
    floor (3590.5)     		tx = 3590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66595458984375 × 213)
    floor (0.66595458984375 × 8192)
    floor (5455.5)     		ty = 5455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3590 / 5455 ti = "13/3590/5455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3590/5455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3590 ÷ 213
    3590 ÷ 8192     		x = 0.438232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5455 ÷ 213
    5455 ÷ 8192     		y = 0.6658935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438232421875 × 2 - 1) × π
    -0.12353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38809714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6658935546875 × 2 - 1) × π
    -0.331787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0423399453385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38809714} λ = -0.38809714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0423399453385))-π/2
    2×atan(0.352628584212076)-π/2
    2×0.339014620533875-π/2
    0.67802924106775-1.57079632675     		φ = -0.89276709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38809714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.236328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89276709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.151786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3590 KachelY 5455 -0.38809714 -0.89276709 -22.236328 -51.151786
    Oben rechts KachelX + 1 3591 KachelY 5455 -0.38733015 -0.89276709 -22.192383 -51.151786
    Unten links KachelX 3590 KachelY + 1 5456 -0.38809714 -0.89324804 -22.236328 -51.179343
    Unten rechts KachelX + 1 3591 KachelY + 1 5456 -0.38733015 -0.89324804 -22.192383 -51.179343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89276709--0.89324804) × R
    0.000480950000000036 × 6371000     		dl = 3064.13245000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89276709--0.89324804) × R
    0.000480950000000036 × 6371000     		dr = 3064.13245000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38809714--0.38733015) × cos(-0.89276709) × R
    0.000766990000000023 × 0.627259392220409 × 6371000     		do = 3065.0988111746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38809714--0.38733015) × cos(-0.89324804) × R
    0.000766990000000023 × 0.626884750821521 × 6371000     		du = 3063.26812849277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89276709)-sin(-0.89324804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627259392220409-0.626884750821521)×R²
    abs(-0.38733015--0.38809714)×0.00037464139888832×R²
    0.000766990000000023×0.00037464139888832×6371000²
    0.000766990000000023×0.00037464139888832×40589641000000     		ar = 9389064.18365367m²