Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3590 / 5447
↖ ↑ ↗
← S 50.930738°
W 22.236328°		 ← 3 079.76 m → S 50.930738°
W 22.192383°		 →
↑
3 078.85 m
↓
↑
3 078.85 m
↓
S 50.958427°
W 22.236328°		 ← 3 077.92 m →
9 479 289 m²		 S 50.958427°
W 22.192383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43829345703125 y=0.66497802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43829345703125 × 213)
    floor (0.43829345703125 × 8192)
    floor (3590.5)     		tx = 3590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66497802734375 × 213)
    floor (0.66497802734375 × 8192)
    floor (5447.5)     		ty = 5447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3590 / 5447 ti = "13/3590/5447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3590/5447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3590 ÷ 213
    3590 ÷ 8192     		x = 0.438232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5447 ÷ 213
    5447 ÷ 8192     		y = 0.6649169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438232421875 × 2 - 1) × π
    -0.12353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38809714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6649169921875 × 2 - 1) × π
    -0.329833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03620402218713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38809714} λ = -0.38809714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03620402218713))-π/2
    2×atan(0.354798937857968)-π/2
    2×0.340943628914505-π/2
    0.681887257829011-1.57079632675     		φ = -0.88890907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38809714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.236328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88890907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.930738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3590 KachelY 5447 -0.38809714 -0.88890907 -22.236328 -50.930738
    Oben rechts KachelX + 1 3591 KachelY 5447 -0.38733015 -0.88890907 -22.192383 -50.930738
    Unten links KachelX 3590 KachelY + 1 5448 -0.38809714 -0.88939233 -22.236328 -50.958427
    Unten rechts KachelX + 1 3591 KachelY + 1 5448 -0.38733015 -0.88939233 -22.192383 -50.958427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88890907--0.88939233) × R
    0.000483259999999985 × 6371000     		dl = 3078.84945999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88890907--0.88939233) × R
    0.000483259999999985 × 6371000     		dr = 3078.84945999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38809714--0.38733015) × cos(-0.88890907) × R
    0.000766990000000023 × 0.630259382746591 × 6371000     		do = 3079.75824475085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38809714--0.38733015) × cos(-0.88939233) × R
    0.000766990000000023 × 0.629884113524226 × 6371000     		du = 3077.92449421382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88890907)-sin(-0.88939233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630259382746591-0.629884113524226)×R²
    abs(-0.38733015--0.38809714)×0.000375269222364305×R²
    0.000766990000000023×0.000375269222364305×6371000²
    0.000766990000000023×0.000375269222364305×40589641000000     		ar = 9479289.27233756m²