Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 359 / 440
↖ ↑ ↗
← N 24.527135°
W 53.789062°		 ← 35.564 km → N 24.527135°
W 53.437500°		 →
↑
35.610 km
↓
↑
35.610 km
↓
N 24.206890°
W 53.789062°		 ← 35.655 km →
1 268.05 km²		 N 24.206890°
W 53.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.35107421875 y=0.43017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.35107421875 × 210)
    floor (0.35107421875 × 1024)
    floor (359.5)     		tx = 359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43017578125 × 210)
    floor (0.43017578125 × 1024)
    floor (440.5)     		ty = 440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 359 / 440 ti = "10/359/440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/359/440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 359 ÷ 210
    359 ÷ 1024     		x = 0.3505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 440 ÷ 210
    440 ÷ 1024     		y = 0.4296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3505859375 × 2 - 1) × π
    -0.298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.93879624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4296875 × 2 - 1) × π
    0.140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.441786466898437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93879624} λ = -0.93879624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441786466898437))-π/2
    2×atan(1.55548355774086)-π/2
    2×0.999437792759148-π/2
    1.9988755855183-1.57079632675     		φ = 0.42807926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93879624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.789062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42807926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.527135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 359 KachelY 440 -0.93879624 0.42807926 -53.789062 24.527135
    Oben rechts KachelX + 1 360 KachelY 440 -0.93266032 0.42807926 -53.437500 24.527135
    Unten links KachelX 359 KachelY + 1 441 -0.93879624 0.42248993 -53.789062 24.206890
    Unten rechts KachelX + 1 360 KachelY + 1 441 -0.93266032 0.42248993 -53.437500 24.206890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42807926-0.42248993) × R
    0.00558933 × 6371000     		dl = 35609.62143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42807926-0.42248993) × R
    0.00558933 × 6371000     		dr = 35609.62143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93879624--0.93266032) × cos(0.42807926) × R
    0.00613591999999996 × 0.909764772910752 × 6371000     		do = 35564.4756664539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93879624--0.93266032) × cos(0.42248993) × R
    0.00613591999999996 × 0.91207081591576 × 6371000     		du = 35654.6233758173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42807926)-sin(0.42248993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909764772910752-0.91207081591576)×R²
    abs(-0.93266032--0.93879624)×0.00230604300500781×R²
    0.00613591999999996×0.00230604300500781×6371000²
    0.00613591999999996×0.00230604300500781×40589641000000     		ar = 1268045878.95274m²