Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35897 / 47975
↖ ↑ ↗
← S 63.799468°
E 17.188110°		 ← 269.67 m → S 63.799468°
E 17.193603°		 →
↑
269.68 m
↓
↑
269.68 m
↓
S 63.801893°
E 17.188110°		 ← 269.65 m →
72 723 m²		 S 63.801893°
E 17.193603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547752380371094 y=0.732048034667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547752380371094 × 216)
    floor (0.547752380371094 × 65536)
    floor (35897.5)     		tx = 35897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732048034667969 × 216)
    floor (0.732048034667969 × 65536)
    floor (47975.5)     		ty = 47975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35897 / 47975 ti = "16/35897/47975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35897/47975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35897 ÷ 216
    35897 ÷ 65536     		x = 0.547744750976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47975 ÷ 216
    47975 ÷ 65536     		y = 0.732040405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547744750976562 × 2 - 1) × π
    0.095489501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29998912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732040405273438 × 2 - 1) × π
    -0.464080810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45795286504439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29998912} λ = 0.29998912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45795286504439))-π/2
    2×atan(0.232712180681373)-π/2
    2×0.228642771871825-π/2
    0.457285543743649-1.57079632675     		φ = -1.11351078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29998912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.188110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11351078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.799468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35897 KachelY 47975 0.29998912 -1.11351078 17.188110 -63.799468
    Oben rechts KachelX + 1 35898 KachelY 47975 0.30008499 -1.11351078 17.193603 -63.799468
    Unten links KachelX 35897 KachelY + 1 47976 0.29998912 -1.11355311 17.188110 -63.801893
    Unten rechts KachelX + 1 35898 KachelY + 1 47976 0.30008499 -1.11355311 17.193603 -63.801893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11351078--1.11355311) × R
    4.23300000000904e-05 × 6371000     		dl = 269.684430000576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11351078--1.11355311) × R
    4.23300000000904e-05 × 6371000     		dr = 269.684430000576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29998912-0.30008499) × cos(-1.11351078) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.441514181817937 × 6371000     		do = 269.671462535946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29998912-0.30008499) × cos(-1.11355311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.441476200649088 × 6371000     		du = 269.648264102523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11351078)-sin(-1.11355311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441514181817937-0.441476200649088)×R²
    abs(0.30008499-0.29998912)×3.79811688491216e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.79811688491216e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.79811688491216e-05×40589641000000     		ar = 72723.0665439833m²